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確率の問題が分かりません　助けてください(1) |

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確率(2) |

初等数学によるフェルマーの最終定理の証明(5) |

中学数学によるフェルマーの最終定理の証明(1) |

確率(1) |

1/{z^2(z-1)^2} z=0でローラン展開(1) |

速度(2) |

極限(0) |

質問(2) |

■50326 / 親記事)

　ボルスク・ウラムの定理の証明

□投稿者/ Yupple 一般人(1回)-(2020/05/10(Sun) 17:44:34)

こんにちは。
大学で幾何学を学んでいます。
現在クネーザー理論の証明をしていて、その中でボルスク・ウラムの定理（n次元）を用いました。
ボルスク・ウラムの定理の証明の学習方法、または解説を教えていただきたいです。
borsuk-ulam theorem

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■50269 / 親記事)

　なぜ２乗？　内積の意味は？？

□投稿者/ おすまん一般人(1回)-(2020/04/04(Sat) 19:24:59)

＃受験生を卒業して30年経っています。

ベクトルの問題の「定石」「鉄則」「初手」は2乗で、たしかにそれで解けるのですが、どうして2乗するのでしょうね？　2乗することで、内積がでてきて、それが橋渡しになることもわかるのですが、改めて考えると、「天下り」以外の何者でもないような…　2乗して得られる内積の意味も？？です。

添付の問題(1)(iii) も、余弦定理を使っての解答のほうが100倍腹落ちするのですが、問題では2次元（または3次元ベクトル）と明記されていないので、平面図形（だけ）で考えて良いのか…

そもそも、図形の問題でベクトルを使うのは、図形的な意味を全く考えず、単に「数式」として問題を解くことと割り切ることが大前提なのでしょうか？

上手く疑問をお伝えできていないと思いますが、ご推察いただければありがたいです。

720×720 => 250×250

m71950919277_2.jpg/48KB

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▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]

■50270 / ResNo.1)

　Re[1]: なぜ２乗？　内積の意味は？？

□投稿者/ おすまん一般人(2回)-(2020/04/04(Sat) 19:32:30)

＃すみません、最後の文章を間違えてました。

正）そもそも、ベクトルの問題は、図形的な意味を全く考えず、単に「数式」として問題を解くことと割り切ることが大前提なのでしょうか？

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■50321 / ResNo.2)

　Re[2]: なぜ２乗？　内積の意味は？？

□投稿者/ マスコリ一般人(1回)-(2020/04/25(Sat) 21:41:41)

大学数学を学ぶと分かるのですが、空間に”内積”という情報を与えることによって、その空間は距離や角度や大きさなどといった幾何学的な情報を持つ（それを距離空間、などと呼んだりする）ようにできるのです。どのようなものが”内積”として適切かは考えたいものによって違いますし、もちろん”内積”の与え方によって空間の距離の情報も変わっていきます。
その中でも特に性質のよいものが、”ユークリッド距離”と呼ばれるもので、高校数学までで自然と使っている座標平面（または座標空間）上の距離にあたるものです。”ユークリッド距離”を与えるのに必要な内積が、まさに高校数学で教えられる”内積”にあたるのです。
ユークリッド距離の何が性質がよいかといわれるといろいろあるのですが、「直感的な距離と合致している」というものもその一つでしょう。そしてこれこそが高校生にとって内積というものの存在をより薄くしていると思います。つまり距離は直感的にわかるし計算できてしまう＆内積を後から習う　ことによって内積って結局何なの？みたいになってしまうのだと思います。
内積を使わずに空間内の距離を出してしまうことも別に間違いではありません。それができるのがユークリッド空間のいいところでもあると思います。しかし、「空間内に内積を導入することにより幾何学的な情報を与える」、という風に解釈することにより、数学の世界がとても大きく広がるのです。ユークリッド空間はその広い数学の世界の中でもとても特別なものなのだと解釈していただければ。（ちょっと違うかもしれませんが、四角形というたくさんの集まりの中で、特別な存在”正方形”、みたいな感じです(笑)）
もし興味があれば、”位相”という概念に触れた本を少し読んでみるといいですよ！

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■50322 / ResNo.3)

　Re[1]: なぜ２乗？　内積の意味は？？

□投稿者/ マスコリ一般人(3回)-(2020/04/25(Sat) 22:22:28)

二乗というところに疑問を持っておられたので少し補足をすると、2乗という操作は
”内積”から”距離”を決めるときの定義がそうだからですね。内積の中身によって少し変わりますが。
これもやはり詳しく知りたい場合は位相の本を読むのがおすすめです！（ここですべて話すのは難しいです、、）

この話から分かるように、まあ天下りだといえば天下りだとは思いますね、、。しかししょうがない話で張ると思います。数学の広い世界につなげるにはどうしてもこの内積というものが必要になってくるのです。
なので、高校生なりにもつかめるような内積のイメージをかみ砕いて伝えられれば良いのですけどね、、、
教区的にいろいろと見直すべき問題をはらんでいると思います。

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■50323 / ResNo.4)

　Re[2]: なぜ２乗？　内積の意味は？？

□投稿者/ おすまん一般人(3回)-(2020/04/26(Sun) 03:19:08)

マスコリさま

ご指導、ありがとうございますm(_ _)m
距離、位相という用語から、あるサイトにたどり着きました。
（URLが貼れないです…　「物理のかぎしっぽ」という（有名な？）サイトです。）

理解がなかなか進みませんが、挫けずに頑張ります！
ありがとうございましたm(_ _)mｘ１００
またご指導いただけますと幸甚でございますm(_ _)m

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■50318 / 親記事)

　デルタ関数に関する問題

□投稿者/ ナノナ一般人(1回)-(2020/04/19(Sun) 21:34:39)

インパルス信号には次のような性質があるようです。
x(t0)がt=t0で連続なとき
∫[-∞→∞]δ(t-t0)x(t)dt=x(t0)・・・(1)

一問目は
(1)の式を用いて
δ(at) = δ(t)/|a|・・・(2)
(2)式の証明をする問題です。

二問目は
入力 x(t) およびインパルス応答 h(t) が以下の式で与えられる線形システムの出力 y(t) を求める問題です。
（まず、y=∫[-∞→∞]h(τ )x(t-τ )dτ の x(τ )h(t － τ ) が 0 にならない範囲を求める）

x(t) = {
0 (t < 0)h(t)
1 (t > 0)h(t)

={
0 (t < 0)
e^－t (t > 0)

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■50315 / 親記事)

　正三角形と半円

□投稿者/ インター一般人(1回)-(2020/04/18(Sat) 21:10:57)

面積が2の正三角形の内部に面積が1の半円をおくことができますか？

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■50316 / ResNo.1)

　Re[1]: 正三角形と半円

□投稿者/ らすかる一般人(25回)-(2020/04/18(Sat) 21:50:04)

面積が2の正三角形の一辺の長さは(64/3)^(1/4)なので
底辺の中点から斜辺までの距離は(3/4)^(1/4)≒0.931
面積が1の半円の半径は√(2/π)≒0.798なので、余裕でおけます。

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■50317 / ResNo.2)

　Re[2]: 正三角形と半円

□投稿者/ インター一般人(2回)-(2020/04/18(Sat) 22:29:58)

ありがとうございます。

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■50312 / 親記事)

　不等式

□投稿者/ グルンカ一般人(1回)-(2020/04/17(Fri) 22:58:40)

nが2以上の自然数のとき、
Σ[k=1,n-1]1/sin(kπ/n)＜n*log(n)
であることの証明を教えて下さい。

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■50313 / ResNo.1)

　Re[1]: 不等式

□投稿者/ らすかる一般人(24回)-(2020/04/18(Sat) 01:52:47)

0＜x＜π/2でsinx＞(2/π)xが成り立つ。
nが奇数のとき
Σ[k=1～n-1]1/sin(kπ/n)
＝2Σ[k=1～(n-1)/2]1/sin(kπ/n)
＜2Σ[k=1～(n-1)/2]1/{(2/π)(kπ/n)}
＝nΣ[k=1～(n-1)/2]1/k
＜n(∫[1/2～(n-1)/2+1/2]dx/x)
＝n{log(n/2)-log(1/2)}
＝nlogn
nが偶数のとき
Σ[k=1～n-1]1/sin(kπ/n)
＝1+2Σ[k=1～n/2-1]1/sin(kπ/n)
＜1+2Σ[k=1～n/2-1]1/{(2/π)(kπ/n)}
＝1+nΣ[k=1～n/2-1]1/k
＜1+n(∫[1/2～n/2-1+1/2]dx/x)
＝1+n{log((n-1)/2)-log(1/2)}
＝1+nlog(n-1)
＜nlogn　(※)

(※)
1+nlog(n-1)＜nlognは、
f(x)=xlogx-(1+xlog(x-1))とおくと
f'(x)＜0, lim[x→∞]f(x)=0となることから言えます。

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■50314 / ResNo.2)

　Re[2]: 不等式

□投稿者/ グルンカ一般人(2回)-(2020/04/18(Sat) 10:03:39)

ありがとうございます。
全然分からなかったのでとても助かりました。
一行目の不等式がポイントですね。

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