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■52868 / 親記事)

　無平方な多項式

□投稿者/ ふとめネコ一般人(1回)-(2025/05/10(Sat) 20:59:22)

整数係数の2次多項式f(x)で任意の整数nに対してf(n)がsquarefreeになるものは存在しますか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■52874 / ResNo.1)

　Re[1]: 無平方な多項式

□投稿者/ らすかる一般人(28回)-(2025/05/12(Mon) 12:05:52)

証明はできないのですが、
f(x)=ax^2+bx+c として
1≦a≦2000, 0≦b≦2000, 0≦c≦2000 の範囲では
そのようなf(x)は存在しなかったことから、
おそらく条件を満たすものは存在しないのではないかと思います。
ちなみにこの範囲の中では
f(x)=293x^2+246x+1307
が最も長くsquarefreeの値が続くもので、このf(x)では
0≦n≦3000でf(n)がsquarefreeとなり、
f(3001)で初めて71^2が登場します。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52894 / ResNo.2)

　Re[1]: 無平方な多項式

□投稿者/ WIZ 一般人(17回)-(2025/06/15(Sun) 15:14:45)

2025/06/16(Mon) 15:33:38 編集(投稿者)

べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。
1以外の整数の平方を因数に持たない整数を「無平方数」と呼ぶことにします。

a, b, cは整数で a ≠ 0 とします。
またxを整数として f(x) = ax^2+bx+c とします。
結論から言うと、xが整数のときf(x)が常に無平方数となることはないと言えます。

f(x)は2次関数ですから、f(x) = 1 となる整数xは高々2種類の値しかありません。
同様に f(x) = 0 とか f(x) = -1 となる整数xもそれぞれ高々2種類です。
よって、有限個の整数xを除き、無数の整数xに対して |f(x)| > 1 となります。

整数uに対して |f(u)| > 1 とし、f(u)の素因数の1つをpとします。
この時、ある整数vが存在して、f(v)がp^2で割り切れるようにできることを示します。

ある整数mが存在して f(u) = au^2+bu+c = mp とおけます。
kを整数として v = u+kp とおくと、
f(v) = f(u+kp)
= a(u^2+2ukp+(k^2)p^2)+b(u+kp)+c
= (au^2+bu+c)+(2au+b)kp+(k^2)p^2
= (m+(2au+b)k)p+(k^2)p^2

(1) 2au+b が法pで0に合同でない場合
m+(2au+b)k ≡ 0 (mod p) となるkを選べます。
pは素数なので法pの剰余類は整域となり、k = -m*((2au+b)^(-1)) とできるからです。
そして、このようなkを用いれば f(v) ≡ 0 (mod p^2) となり、無平方数ではないと言えます。

(2) 2au+b が法pで0に合同な場合
f(u) ≡ 2au+b ≡ 0 (mod p)
⇒ 2a(au^2+bu+c)-u(2au+b) = (2au^2+2bu+2c)-(2au^2+bu) = bu+2c ≡ 0 (mod p)
⇒ b(2au+b)-2a(bu+2c) = (2abu+b^2)-(2abu-4ac) = b^2-4ac ≡ 0 (mod p)

従って、f(x)と2au+bの公約数となる素数pはb^2-4acの素因数でもあると言えます。
f(x)を決めればb^2-4acは定数ですから、b^2-4acの素因数pの種類は有限個です。

しかし、f(x)の約数となる得る素数は無数であることが以下のように示せます。
f(x)の約数となる得る素数の種類が有限個だと仮定すると、
f(x)が無平方数なら|f(x)|は有限個の素数の積、つまり有限の最大値を持つことになりますが、
2次関数の整数値となる絶対値はいくらでも大きくなれるので矛盾です。

よって、|f(x)|が無平方数とならないことがあるか、
または、f(x) = ax^2+bx+cの約数かつb^2-4acの約数でない素数が存在して
(1)の場合に帰着できかのどちらかと言えます。

以上から、任意の整数xに対して無平方数となるf(x)は存在しないと言えます。

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■52843 / 親記事)

　難しい積分

□投稿者/ 智恵袋一般人(1回)-(2025/05/02(Fri) 19:39:50)
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13314153288

この積分の求め方を教えて下さい。

$2$\Large \displaystyle\int_{\sqrt{\frac{2}{5}}}^{\frac{2}{\sqrt{5}}} \, \sqrt{\frac{1+\sqrt{x^4-x^2+1}}{x^6-x^8} }\,dx$

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■52891 / ResNo.1)

　Re[1]: 難しい積分

□投稿者/ WIZ 一般人(15回)-(2025/06/10(Tue) 15:12:16)

べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。

I = ∫[√(2/5), 2/√5]{√{(1+√(x^4-x^2+1))/(x^6-x^8)}}dx とおきます。
x = 1/√t と置換すると、dx = (-1/2)(t^(-3/2))dt で積分範囲は [5/2, 5/4] となります。

(1+√(x^4-x^2+1))/(x^6-x^8)
= (1+√(1/(t^2)-1/t+1))/(1/(t^3)-1/(t^4))
= (t^3)(t+√(1-t+t^2))/(t-1)
= (t^3)(t^2-(1-t+t^2))/{(t-1)(t-√(1-t+t^2))}
= (t^3)(t-1)/{(t-1)(t-√(1-t+t^2))}
= (t^3)/(t-√(1-t+t^2))

よって、
I = ∫[5/2, 5/4]{√{(t^3)/(t-√(1-t+t^2))}}(-1/2)(t^(-3/2))dt
= (1/2)∫[5/4, 5/2]{1/√(t-√(1-t+t^2))}dt

更に t-u^2 = √(1-t+t^2) と置換すると、
t^2-2(u^2)t+u^4 = 1-t+t^2
⇒ (1-2u^2)t = 1-u^4
⇒ t = (1-u^4)/(1-2u^2)
# u^2 = 1/2 と仮定すると、t^2-2(u^2)t+u^4 = 1/4-t+t^2 = 1-t+t^2 と矛盾する為。

t-√(1-t+t^2) = t-(t-u^2) = u^2

(d/dt)u^2 = 1-(1/2)(2t-1)/√(1-t+t^2)
= 1-(2t-1)/{2(t-u^2)}
= {2(t-u^2)-(2t-1)}/{2(t-u^2)}
= (1-2u^2)/{2(1-u^4)/(1-2u^2)-2u^2}
= {(1-2u^2)^2}/{2(1-u^4)-(2u^2)(1-2u^2)}
= {(1-2u^2)^2}/(2-2u^2+2u^4)
⇒ {4u(1-u^2+u^4)/{(1-2u^2)^2}}du = dt

上記から
(d/dt)u^2 = 1-(1/2)(2t-1)/√(1-t+t^2)
= 1-(t-1/2)/√(3/4+(t-1/2)^2)
> 1-(t-1/2)/√((t-1/2)^2)
= 0
なので、tが増加するときu^2も単調増加です。

uの積分範囲は t = 5/4 のとき
u^2 = 5/4-√(1-5/4+25/16) = 5/4-√((16-20+25)/16) = (5-√21)/4
⇒ u = (√(5-√21))/2 = a とおきます。

t = 5/2 のとき
u = 5/2-√(1-5/2+25/4) = 5/2-√((4-10+25)/4) = (5-√19)/2
⇒ u = (√(10-2√19))/2 = b とおきます。

# 不安なので検算します。
# (5-√19)/2-(5-√21)/4 = (5-2√19+√21)/4 > (5-2√20+√20)/4 = (5-2√5)/4 > 0

I = (1/2)∫[a, b]{1/u}{4u(1-u^2+u^4)/{(1-2u^2)^2}}du
= (1/2)∫[a, b]{(4-4u^2+4u^4)/(1-4u^2+4u^4)}du
= (1/2)∫[a, b]{1+3/(1-4u^2+4u^4)}du

被積分関数を部分分数に分解します。
1/(1-2u^2) = 1/{(1-(√2)u)(1+(√2)u)} = (1/2){1/(1-(√2)u)+1/(1+(√2)u)}
⇒ 1/{(1-2u^2)^2} = (1/4){1/(1-(√2)u)+1/(1+(√2)u)}^2
= (1/4){1/{(1-(√2)u)^2}+2/{(1-(√2)u)(1+(√2)u)}+1/{(1+(√2)u)^2}}
= (1/4){1/{(1-(√2)u)^2}+1/{(1+(√2)u)^2}+1/(1-(√2)u)+1/(1+(√2)u)}

p = 1-(√2)u, q = 1+(√2)u とおくと、du = (-1/√2)dp = (1/√2)dq です。
1-2u^2 = (1-(√2)u)(1+(√2)u) ≧ 1-2b^2 = 1-(5-√19) = √19-4 > 0 です。
u > 0 ですから、p = 1-(√2)u > 0 かつ q = 1+(√2)u > 0 といえます。

A = (1/2)∫[a, b]du = (b-a)/2
B = (3/8)∫[1-(√2)a, 1-(√2)b]{1/{(1-(√2)u)^2}+1/(1-(√2)u)}du
C = (3/8)∫[1+(√2)a, 1+(√2)b]{1/{(1+(√2)u)^2}+1/(1+(√2)u)}du
とおくと、I = A+B+C です。

B = (3/8)∫[1-(√2)a, 1-(√2)b]{1/(p^2)+1/p}(-1/√2)dp
= (3/8√2)[-1/p+log(p)]_[1-(√2)b, 1-(√2)a]
= (3/8√2){log(1-(√2)a)-log(1-(√2)b)+1/(1-(√2)b)-1/(1-(√2)a)}

C = (3/8)∫[1+(√2)a, 1+(√2)b]{1/(q^2)+1/q}(1/√2)dq
= (3/8√2)[-1/q+log(q)]_[1+(√2)a, 1+(√2)b]
= (3/8√2){log(1+(√2)b)-log(1+(√2)a)-1/(1+(√2)b)+1/(1+(√2)a)}

題意の定積分をwolframe alphaに計算させると、途中経過は分かりませんが結果は1.32ぐらいの値になります。
そして、上記の A+B+C の値も同じ値になるようなので、計算は合っているものと思います。
A+B+C に a = (√(5-√21))/2, b = (√(10-2√19))/2 を代入しても余り綺麗な式にはならなかったので、
これ以上の計算は断念しました。全体的にもっと上手い計算方法があるのかもしれませんが・・・。

長文失礼しました。

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■52892 / ResNo.2)

　Re[2]: 難しい積分

□投稿者/ らすかる一般人(32回)-(2025/06/10(Tue) 17:11:45)

同じ値になっているようですね。
WolframAlphaでは短い桁数しか得られないようですが、Pari/GPを使うと
1.3205397285378648116075198430985816391362542655890234416958000760311016204193874…
のように必要な桁数の値が得られます。
そしてWIZさんが書かれた式に具体値を代入して多桁を計算してもやはり
1.3205397285378648116075198430985816391362542655890234416958000760311016204193874…
となり、ピタリ同じ値が得られます。
で、A+B+Cをゴリゴリ計算してみたところ
{6log(√7-2)+6log(5+2√19+2√(23+5√19))-9log(3)+4√(47+5√19)-4√7}/(16√2)
となりました。これ以上簡単になりそうな気はしません。

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■52887 / 親記事)

　積分不等式

□投稿者/ 秋田犬一般人(1回)-(2025/06/04(Wed) 19:42:48)

a≧0
f(x)>0
f'(x)>0
のとき0≦x≦π/4で
f(x)≧∫[a,x+a]sin(t-a)cos(t-a)f(sin(t-a))dt
が成り立つことの証明を教えてください
秋田大の問題です

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■52890 / ResNo.1)

　Re[1]: 積分不等式

□投稿者/ WIZ 一般人(14回)-(2025/06/05(Thu) 12:01:34)

2025/06/05(Thu) 19:59:41 編集(投稿者)

不定積分の1つを g(t) = ∫{sin(t-a)cos(t-a)f(sin(t-a))}dt とおきます。

x > 0 の場合、平均値の定理より a < c < x+a となるcが存在して、
g(x+a)-g(a) = ((x+a)-a)g'(c) = x*sin(c-a)cos(c-a)f(sin(c-a)) となります。
0 < c-a < x ≦ π/4 なので sin(c-a) > 0, cos(c-a) > 0 ですので、
g(x+a)-g(a) = x*sin(c-a)cos(c-a)f(sin(c-a)) > 0 といえます。

ここで、0 < sin(c-a)cos(c-a) = sin(2(c-a))/2 < 2(c-a)/2 < x です。
また、f'(x) > 0 よりf(x)は単調増加なのと、
0 < sin(c-a) < c-a < x なので 0 < f(sin(c-a)) ≦ f(x) ですので、
0 < g(x+a)-g(a) ≦ (x^2)f(x) となります。

x = 0 の場合、g(x+a)-g(a) = (x^2)f(x) = 0 ですので、
0 ≦ x ≦ π/4 の範囲で 0 ≦ g(x+a)-g(a) ≦ (x^2)f(x) は成立します。

0 ≦ x ≦ π/4 < 1 なので x^2 < 1 ですので、
f(x) > (x^2)f(x) ≧ g(x+a)-g(a) = ∫[a, x+a]{sin(t-a)cos(t-a)f(sin(t-a))}dt
といえます。

# a ≧ 0 という条件は使用せず、不要となってしまっていることから、
# 私の解法は何らかの考え漏れがあるのかもしれません。

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■52886 / 親記事)

　スピアマンの順位相関係数の求め方について

□投稿者/ ねこねこ一般人(1回)-(2025/05/27(Tue) 00:13:58)

スピアマンの順位相関係数について質問です。

以下のような2つのデータがあります。これは10人の学生について調査したもので、
「アロハ」は親指と小指を広げた長さ（cm）、
「キュビット」は肘から中指までの長さ（cm）を表しています。

学生名とそれぞれの値は以下のとおりです：
• 学生：イ、ロ、ハ、ニ、ホ、ヘ、ト、チ、リ、ヌ
• アロハ(cm)：17.0, 15.5, 16.5, 17.5, 17.0, 16.0, 16.0, 18.0, 17.0, 16.0
• キュビット(cm)：36, 39, 40, 41, 38, 40, 42, 41, 41, 40

スピアマンの相関係数を求めて、どのような相関関係があるのか確かめなさい。

数値は少数第2位まで、3位以下は四捨五入して入力してください。

(携帯)

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■52876 / 親記事)

　相加相乗で

□投稿者/ 相加相乗一般人(1回)-(2025/05/15(Thu) 05:51:58)

相加相乗平均の不等式を使って x+1/x-1/(x+1) (x>0) の最小値を求められますか？

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■52883 / ResNo.1)

　Re[1]: 相加相乗で

□投稿者/ WIZ 一般人(11回)-(2025/05/25(Sun) 08:49:10)

解答ではなく参考情報です。
べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。

x > 0 で f(x) = x+1/x-1/(x+1) = x+1/(x^2+x) とおくと、1/(x^2+x) > 0 ですから、
相加相乗平均の大小関係から f(x) ≧ 2√(x*(1/(x^2+x))) = 2√(1/(x+1)) となり、
0 < 2√(1/(x+1)) < 2 だから最小値があればこの範囲の値だろうとは推論できます。

そもそも最小値が存在するのかどうかも分からない状態で、
ある定数sに対して f(x) ≧ s の形に持ち込めるのか試行錯誤しても徒労に終わる可能性があります。

余談ですが数学では「どうしてそれを思い付いたのか」を説明する必要はないので、
いきなり s = {-3+√(13+16√2)}/2, w = {(-1+√2)+√(2√2-1)}/2 とおけば、
x > 0 で f(x) ≧ s であり、f(w) = s であることさえ示せればsが最小値であるといえると思います。

とは言っても、f(x)を眺めていただけで最小値 {-3+√(13+16√2)}/2 を見出せる方はいないと思うので、
以下、相加相乗平均の不等式は使いませんが、最小値の存在とその値の求め方を解説します。

f'(x) = (x^4+2x^3+x^2-2x-1)/{(x^2)(x+1)^2}

f'(x)の分母は正なので、分子の符号を調べます。
g(x) = x^4+2x^3+x^2-2x-1 とおくと、
g'(x) = 4x^3+6x^2+2x-2
g''(x) = 12x^2+12x+2 = 3(2x+1)^2-1 > 0
# x > 0なので2x+1 > 1 ⇒ 3(2x+1)^2 > 3

x > 0 で g''(x) > 0 なので g'(x) は単調増加です。
g'(0) = -2, g'(1) = 10 なので、0 < u < 1 となる実数uで g'(u) = 0
0 < x < u で g'(x) < 0 なのでg(x)は減少、g(x) < 0
x = u で g'(x) = 0 なのでg(x)は極小、g(x) < 0
u < x で g'(x) > 0 なのでg(x)は増加

つまり、0 < u < w < 1 となる実数wが存在して、
u < x < w で g'(x) > 0 なのでg(x)は増加、g(x) < 0
x = w で g'(x) > 0 なのでg(x)は増加、g(x) = 0
w < x で g'(x) > 0 なのでg(x)は増加、g(x) > 0
となる訳で、g(x)とf'(x)の符号は同じだから x = w でf(x)は極小になるといえます。

g(x) = 0 となる x = w を求めます。フェラーリの公式を使うた為、y = x+1/2とおくと、
x^4+2x^3+x^2-2x-1 = y^4-(1/2)y^2-2y+1/16 = 0
⇒ y^4+z(y^2)+(z^2)/4 = (z+1/2)y^2+2y+((z^2)/4-1/16)

右辺も平方完成できるようにzを定めます。分解方程式は右辺の2次式の判別式を0とおけば良いので
2^2-4(z+1/2)((z^2)/4-1/16) = 0
⇒ z^3+(1/2)z^2-(1/4)z-33/8 = 0
⇒ 8z^3+4z^2-2z-33 = (2z-3)((2z)^2+4(2z)+11) = 0

z = 3/2 と選ぶと、
⇒ (y^2+3/4)^2 = 2(y+1/2)^2
⇒ {y^2-(√2)y+(3-2√2)/4}{y^2+(√2)y+(3+2√2)/4} = 0
と因数分解できます。

上記後半の2次方程式は実数解を持ちません。
前半の2次方程式は実数解を持ちますが、x = y-1/2 > 0 を満たすのは
y = {(√2)+√(2√2-1)}/2 のみで、w = {(-1+√2)+√(2√2-1)}/2 となります。
よって、最小値は f(w) = {-3+√(13+16√2)}/2 となります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52885 / ResNo.2)

　Re[1]: 相加相乗で

□投稿者/ WIZ 一般人(12回)-(2025/05/26(Mon) 07:24:14)

2025/05/26(Mon) 15:22:36 編集(投稿者)

最小値が存在することを前提とする別解です。

f(x) = x+1/(x^2+x) ≧ 2√(1/(x+1)) > 0 なので、最小値sは s > 0 となります。
すると、f(x) = (x^3+x^2+1)/(x^2+x) ≧ s となりますが、
x^2+x > 0ですので、(x^3+x^2+1)-s(x^2+x) ≧ 0 となります。

つまり、h(x) = x^3+(1-s)x^2-sx+1 ≧ 0 とおくことができます。
またwを正の実数定数として h(w) = 0 ならば、s = f(w) が求める最小値となります。

h'(x) = 3x^2+2(1-s)x-s です。
x > 0 の範囲で「h(x) ≧ 0」かつ「h(x) = 0となるxが存在する」ということは、
xy座標で y = h(x) のグラフが x > 0 の範囲で極小値を持ち、その極小なる点でx軸に接する必要があります。
h(x)が極小になるのが x = w > 0 とすると、「x = wはh(x) = 0の重解」かつ「h'(w) = 0」となることが必要です。

h(w) = w^3+(1-s)w^2-sw+1 = 0・・・・・(1)
h'(w) = 3w^2+2(1-s)w-s = 0・・・・・(2)

(1)より、3w^3+3(1-s)w^2-3sw+3 = 0・・・・・(3)
(2)より、3w^3+2(1-s)w^2-sw = 0・・・・・(4)
(3)-(4)より、(1-s)w^2-2sw+3 = 0
⇒ 3(1-s)w^2-6sw+9 = 0・・・・・(5)

(2)より、3(1-s)w^2+2((1-s)^2)w-s(1-s) = 0・・・・・(6)
(6)-(5)より、{2((1-s)^2)+6s}w-s(1-s)-9
⇒ 2(s^2+s+1)w+(s^2-s-9)

ここで、s^2+s+1 > 0 ですので、w = (-1/2)(s^2-s-9)/(s^2+s+1) となります。

h'(w) = 0 = 3{(-1/2)(s^2-s-9)/(s^2+s+1)}^2+2(1-s)(-1/2)(s^2-s-9)/(s^2+s+1)-s
整理すると s^4+6s^3+7s^2-6s-31 = 0 となります。

4次方程式 s^4+6s^3+7s^2-6s-31 = 0 をフェラーリの公式を使って解こうとすると、
分解方程式は有理数解を持たないので簡単には因数分解できません。
分解方程式をカルダーノの公式で解くことはできますが、解は非常に複雑な式となり、
元の4次方程式の因数分解も非常に困難な計算となり、諦めました(!)。

そこで、複2次式に変形できないか試行錯誤の末、以下のようになりました。
a, b, c, dを定数として、
s^4+6s^3+7s^2-6s-31
= (s^2+as+b)^2+c(s^2+as+b)+d
= s^4+2as^3+(a^2+2b+c)s^2+(2ab+ac)s+(b^2+bc+d)
と変形できると仮定します。

係数を比較して、
2a = 6・・・・・(A)
a^2+2b+c = 7・・・・・(B)
2ab+ac = -6・・・・・(C)
b^2+bc+d = -31・・・・・(D)

(A)より、a = 3・・・・・(E)
(E)を(B)に代入すると、3^2+2b+c = 7 ⇒ 2b+c = -2・・・・・(F)
(E)を(C)に代入すると、2*3b+3c = -6 ⇒ 2b+c = -2・・・・・(Fと同じ)
⇒ c = -2b-2・・・・・(G)

(G)を(D)に代入すると、b^2+b(-2b-2)+d = -31 ⇒ -b^2-2b+d = -31・・・・・(H)
(G)(H)と式が2個で変数は3個なので、b = 0とすれば c = -2, d = -31 となります。

以上から、
s^4+6s^3+7s^2-6s-31 = (s^2+3s)^2-2(s^2+3s)-31 = 0
⇒ s^2+3s = 1±√32 = 1±4√2

s^2+3s > 0 なので、s^2+3s = 1+4√2 です。
⇒ s = {-3±√(13+16√2)}/2

s > 0 なので、s = {-3+√(13+16√2)}/2 となります。
# 本当はwの値を求めるなりして、w > 0 を確認する必要がありますが・・・省略!

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