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■52924 / 親記事)  広義積分
□投稿者/ スポンジ 一般人(1回)-(2025/08/19(Tue) 10:45:19)
    の求め方教えて下さい
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52925 / ResNo.1)  Re[1]: 広義積分
□投稿者/ WIZ 一般人(23回)-(2025/08/20(Wed) 12:41:25)
    べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。
    I = ∫[0,1]{(√(x/(1-x)))log(x)}dx とおきます。

    x = sin(t)^2 とおくと、tの積分範囲は[0,π/2]となります。
    広義積分ということで、0 < x = sin(t)^2 < 1 と考えれば、
    0 < t < π/2 となり、0 < sin(t) < 1 かつ 0 < cos(t) < 1 となります。

    dx = 2sin(t)cos(t)dt
    √(x/(1-x)) = √(sin(t)^2/(1-sin(t)^2)) = √(sin(t)^2/cos(t)^2) = tan(t)
    となりますので、
    I = ∫[0,π/2]{tan(t)log(sin(t)^2)}*2sin(t)cos(t)dt
    = 4∫[0,π/2]{(sin(t)^2)log(sin(t))}dt
    = 4[-cos(t)sin(t)log(sin(t))]_[0,π/2]-4∫[0,π/2]{(-cos(t)){cos(t)log(sin(t))+sin(t)(cos(t)/sin(t))}}dt

    ここで、ロピタルの定理より
    lim[t→0]{sin(t)log(sin(t))}
    = lim[t→0]{log(sin(t))/(1/sin(t))}
    = lim[t→0]{(cos(t)/sin(t))/(-cos(t)/sin(t)^2)}
    = lim[t→0]{-sin(t)}
    = 0
    ですので、
    I = -4(0-0)+4∫[0,π/2]{(cos(t)^2)log(sin(t))+cos(t)^2}dt
    = 4∫[0,π/2]{(1-sin(t)^2)log(sin(t))+(1+cos(2t))/2}dt
    ⇒ 2I = 4∫[0,π/2]{log(sin(t))}dt+2[t-sin(2t)/2]_[0,π/2]
    ⇒ I = 2∫[0,π/2]{log(sin(t))}dt+π/2

    J = ∫[0,π/2]{log(sin(t))}dt とおきます。

    t = π/2-u とおくと、
    J = ∫[π/2,0]{log(cos(u))}(-du)
    = ∫[0,π/2]{log(cos(u))}du
    ⇒ 2J = ∫[0,π/2]{log(sin(t))+log(cos(u))}dt
    = ∫[0,π/2]{log(sin(2t)/2)}dt
    = ∫[0,π/2]{log(sin(2t))-log(2)}dt

    v = 2t とおくと、
    2J = ∫[0,π]{log(sin(v))}(dv/2)-(π/2)log(2)
    = (1/2)∫[0,π]{log(sin(t))}dt-(π/2)log(2)・・・・・(1)

    t = π-w とおくと、
    J = ∫[π,π/2]{log(sin(w))}(-dw)
    = ∫[π/2,π]{log(sin(w))}dw
    ⇒ 2J = ∫[0,π]{log(sin(t))}dt・・・・・(2)

    (1)(2)より、
    2J = (1/2)(2J)-(π/2)log(2)
    ⇒ J = -(π/2)log(2)

    以上から、
    I = 2J+π/2 = π/2-πlog(2)

    # もっと上手い計算方法があるかもしれません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52926 / ResNo.2)  Re[2]: 広義積分
□投稿者/ スポンジ 一般人(2回)-(2025/08/20(Wed) 19:06:54)
    ありがとうございます。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■50677 / 親記事)  有理数と素数
□投稿者/ ぽる塾 一般人(1回)-(2021/03/26(Fri) 10:45:09)
    正の有理数rでどのような素数p,qに対しても
    r≠(p+1)/(q+1)
    であるrの例をなにかひとつ教えてください。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス9件(ResNo.5-9 表示)]
■52912 / ResNo.5)  Re[2]: 有理数と素数
□投稿者/ AAA 一般人(3回)-(2025/08/06(Wed) 17:51:46)
    No52911に返信(AAAさんの記事)
    > ■No50677に返信(ぽる塾さんの記事)
    >>正の有理数rでどのような素数p,qに対しても
    >>r≠(p+1)/(q+1)
    >>であるrの例をなにかひとつ教えてください。Common pergola sizes include 10x10 ft, 10x13 ft,13x13 ft,13x20 ft and custom dimensions , suitable for patios, decks, or commercial spaces
    A modern outdoor pergola blends sleek design with functionality, using materials like aluminum or composite wood to create a stylish, low-maintenance structure for patios or decks.
    An aluminum pergola combines strength and longevity, resisting fading and corrosion for decades .
    Motorized pergola lets you remotely manage shade angles via remote, combining convenience and smart tech.flexpatio.com
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52913 / ResNo.6)  Re[1]: 有理数と素数
□投稿者/ 数と 一般人(1回)-(2025/08/07(Thu) 12:49:31)
    パーゴラキットは、事前にカットされた部品、DIYに最適な設計、そしてテラスやデッキに迅速に組み立てられるため、屋外プロジェクトを簡単にします。flexpatio.com
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52914 / ResNo.7)  Re[2]: 有理数と素数
□投稿者/ 数と 一般人(2回)-(2025/08/07(Thu) 12:51:26)
    モーターパーゴラはスマートな便利さを提供し、リモコンで天候の変化に自動的に調整し、暑さから急な雨まで快適さを保証します。flexpatio.com/products/flexpatio-motorized-pergola-kit-power
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52915 / ResNo.8)  Re[3]: 有理数と素数
□投稿者/ 数と 一般人(3回)-(2025/08/07(Thu) 12:54:07)
    電動パーゴラは屋外空間に手軽な操作性をもたらします&#8212;リモコンでシャドーを調整したり屋根を開けたりして、手間をかけずに快適さを確保できます。flexpatio.com/blogs/news/flexpatio-vs-hanso


引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52916 / ResNo.9)  Re[4]: 有理数と素数
□投稿者/ 数と 一般人(4回)-(2025/08/07(Thu) 13:01:22)
    モーターパーゴラを手動価格で。flexpatio.com/blogs/news/flexpatio-vs-pergolux


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■51833 / 親記事)  微分方程式の級数解
□投稿者/ M 一般人(1回)-(2022/04/02(Sat) 19:04:46)
    微分方程式 y’’+xy’+y=0について、級数解を求める問題なのですが、
    解き方が分からず困っています。
    教えていただけないでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52905 / ResNo.1)  Re[1]: 微分方程式の級数解
□投稿者/ WIZ 一般人(21回)-(2025/07/20(Sun) 19:22:46)
    2025/07/21(Mon) 09:04:44 編集(投稿者)

    べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。
    xの値に関わらず x^0 = 1 とします。
    0!! = 1 とします。

    kを非負整数、a[k]をx^kの係数として、y = Σ[k=0,∞]{a[k]*x^k}とします。

    y'' = Σ[k=2,∞]{k(k-1)a[k]*x^(k-2)} = Σ[k=0,∞]{(k+2)(k+1)a[k+2]*x^k}
    xy' = x*Σ[k=1,∞]{k*a[k]*x^(k-1)} = Σ[k=1,∞]{k*a[k]*x^k}
    ⇒ y''+xy'+y = (a[0]+2a[2])+Σ[k=1,∞]{((k+2)(k+1)a[k+2]+(k+1)a[k])x^k}

    y''+xy'+y = 0 より、全ての係数が0でなければならないので、
    a[0]+2a[2] = 0・・・・・(1)
    k ≧ 1 で (k+2)(k+1)a[k+2]+(k+1)a[k] = 0 ⇒ (k+2)a[k+2]+a[k] = 0・・・・・(2)

    (1)は(2)に k = 0 としたものに他なりませんので、kが非負整数で(2)となります。
    kが偶数のとき、a[k] = a[0]/{k(k-2)(k-4)・・・2} = a[0]/(k!!)
    kが奇数のとき、a[k] = a[1]/{k(k-2)(k-4)・・・1} = a[1]/(k!!)

    以上から、
    y = Σ[j=0,∞]{(a[0]/((2j)!!))x^(2j)+(a[1]/((2j+1)!!))x^(2j+1)}
    となります。

    級数解ということであれば上記までで良いのかもしれませんが、前半をもう少し変形を試みると
    Σ[j=0,∞]{(a[0]/((2j)!!))x^(2j)}
    = a[0]Σ[j=0,∞]{(x^(2j))/((2^j)(j!))}
    = a[0]Σ[j=0,∞]{((x^2/2)^j)/(j!)}
    = a[0]e^(x^2/2)

    後半は自力では変形できなかったので、wolfram alphaのお世話になったら
    初等関数では表せず、誤差関数erf()を用いて、
    Σ[j=0,∞]{(a[1]/((2j+1)!!))x^(2j+1)} = a[1](e^(x^2/2))(√(π/2))erf(x/√2)
    となるそうです。
    ちなみに erf(x) = (2/√π)∫[0,x]{e^(-t^2)}dt ということです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■50901 / 親記事)  積分の漸化式
□投稿者/ 積分 一般人(1回)-(2021/07/09(Fri) 09:15:14)
    I[n]=∫((1+cosx)/2)^(n-1)(-1/cosx)^ndx
    と定めるときI[n+1]をI[n]であらわせ。

    この問題が解けません。教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■50902 / ResNo.1)  Re[1]: 積分の漸化式
□投稿者/ 積分 一般人(2回)-(2021/07/09(Fri) 15:01:07)
    No50901に返信(積分さんの記事)
    > I[n]=∫((1+cosx)/2)^(n-1)(-1/cosx)^ndx
    > と定めるときI[n+1]をI[n]であらわせ。
    >
    > この問題が解けません。教えて下さい。


    解決しました。ありがとうございました。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50903 / ResNo.2)  Re[2]: 積分の漸化式
□投稿者/ 積分 一般人(3回)-(2021/07/09(Fri) 15:25:41)
    上の人は別人です。なりすましです。
    まだ解決していません。

    引き続きご指導よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52901 / ResNo.3)  Re[1]: 積分の漸化式
□投稿者/ WIZ 一般人(19回)-(2025/07/13(Sun) 09:43:21)
    べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。
    nを自然数として I[n] = ∫{((1+cos(x))/2)^(n-1)}{(-1/cos(x))^n}dx と解釈して回答します。

    t = tan(x/2) とおけば、cos(x) = (1-t^2)/(1+t^2), dx = 2dt/(1+t^2) ですので、
    I[n] = ∫{((1+(1-t^2)/(1+t^2))/2)^(n-1)}{(-1/((1-t^2)/(1+t^2)))^n}{2/(1+t^2)}dt
    = 2∫{1/((t^2-1)^n)}dt

    技巧的ですが、上記は部分積分を用いて以下のように変形できます。
    I[n] = 2t/((t^2-1)^n)-2∫{t*(-2nt)/((t^2-1)^(n+1))}dt
    = 2t/((t^2-1)^n)+4n∫{(t^2)/((t^2-1)^(n+1))}dt
    = 2t/((t^2-1)^n)+4n∫{(t^2-1+1)/((t^2-1)^(n+1))}dt
    = 2t/((t^2-1)^n)+2n(I[n]+I[n+1])

    ⇒ I[n+1] = {(1-2n)I[n]-2t/((t^2-1)^n)}/(2n)
    = {(1-2n)I[n]-2tan(x/2)/((tan(x/2)^2-1)^n)}/(2n)

    # 計算間違いしてたらごめんなさい!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52900 / 親記事)  数列の極限
□投稿者/ サマンサ 一般人(1回)-(2025/07/10(Thu) 09:07:22)
    数列{cos(nθ)} n=1,2,3,…が収束するときθの値が求められるそうですが、
    数列{cos(nθ)+cos(nφ)} n=1,2,3,…が収束するときθとφの値は求められますか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]






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