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■52887 / 親記事)

　積分不等式

□投稿者/ 秋田犬一般人(1回)-(2025/06/04(Wed) 19:42:48)

a≧0
f(x)>0
f'(x)>0
のとき0≦x≦π/4で
f(x)≧∫[a,x+a]sin(t-a)cos(t-a)f(sin(t-a))dt
が成り立つことの証明を教えてください
秋田大の問題です

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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■52890 / ResNo.1)

　Re[1]: 積分不等式

□投稿者/ WIZ 一般人(14回)-(2025/06/05(Thu) 12:01:34)

2025/06/05(Thu) 19:59:41 編集(投稿者)

不定積分の1つを g(t) = ∫{sin(t-a)cos(t-a)f(sin(t-a))}dt とおきます。

x > 0 の場合、平均値の定理より a < c < x+a となるcが存在して、
g(x+a)-g(a) = ((x+a)-a)g'(c) = x*sin(c-a)cos(c-a)f(sin(c-a)) となります。
0 < c-a < x ≦ π/4 なので sin(c-a) > 0, cos(c-a) > 0 ですので、
g(x+a)-g(a) = x*sin(c-a)cos(c-a)f(sin(c-a)) > 0 といえます。

ここで、0 < sin(c-a)cos(c-a) = sin(2(c-a))/2 < 2(c-a)/2 < x です。
また、f'(x) > 0 よりf(x)は単調増加なのと、
0 < sin(c-a) < c-a < x なので 0 < f(sin(c-a)) ≦ f(x) ですので、
0 < g(x+a)-g(a) ≦ (x^2)f(x) となります。

x = 0 の場合、g(x+a)-g(a) = (x^2)f(x) = 0 ですので、
0 ≦ x ≦ π/4 の範囲で 0 ≦ g(x+a)-g(a) ≦ (x^2)f(x) は成立します。

0 ≦ x ≦ π/4 < 1 なので x^2 < 1 ですので、
f(x) > (x^2)f(x) ≧ g(x+a)-g(a) = ∫[a, x+a]{sin(t-a)cos(t-a)f(sin(t-a))}dt
といえます。

# a ≧ 0 という条件は使用せず、不要となってしまっていることから、
# 私の解法は何らかの考え漏れがあるのかもしれません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52886 / 親記事)

　スピアマンの順位相関係数の求め方について

□投稿者/ ねこねこ一般人(1回)-(2025/05/27(Tue) 00:13:58)

スピアマンの順位相関係数について質問です。

以下のような2つのデータがあります。これは10人の学生について調査したもので、
「アロハ」は親指と小指を広げた長さ（cm）、
「キュビット」は肘から中指までの長さ（cm）を表しています。

学生名とそれぞれの値は以下のとおりです：
• 学生：イ、ロ、ハ、ニ、ホ、ヘ、ト、チ、リ、ヌ
• アロハ(cm)：17.0, 15.5, 16.5, 17.5, 17.0, 16.0, 16.0, 18.0, 17.0, 16.0
• キュビット(cm)：36, 39, 40, 41, 38, 40, 42, 41, 41, 40

スピアマンの相関係数を求めて、どのような相関関係があるのか確かめなさい。

数値は少数第2位まで、3位以下は四捨五入して入力してください。

(携帯)

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■52876 / 親記事)

　相加相乗で

□投稿者/ 相加相乗一般人(1回)-(2025/05/15(Thu) 05:51:58)

相加相乗平均の不等式を使って x+1/x-1/(x+1) (x>0) の最小値を求められますか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■52883 / ResNo.1)

　Re[1]: 相加相乗で

□投稿者/ WIZ 一般人(11回)-(2025/05/25(Sun) 08:49:10)

解答ではなく参考情報です。
べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。

x > 0 で f(x) = x+1/x-1/(x+1) = x+1/(x^2+x) とおくと、1/(x^2+x) > 0 ですから、
相加相乗平均の大小関係から f(x) ≧ 2√(x*(1/(x^2+x))) = 2√(1/(x+1)) となり、
0 < 2√(1/(x+1)) < 2 だから最小値があればこの範囲の値だろうとは推論できます。

そもそも最小値が存在するのかどうかも分からない状態で、
ある定数sに対して f(x) ≧ s の形に持ち込めるのか試行錯誤しても徒労に終わる可能性があります。

余談ですが数学では「どうしてそれを思い付いたのか」を説明する必要はないので、
いきなり s = {-3+√(13+16√2)}/2, w = {(-1+√2)+√(2√2-1)}/2 とおけば、
x > 0 で f(x) ≧ s であり、f(w) = s であることさえ示せればsが最小値であるといえると思います。

とは言っても、f(x)を眺めていただけで最小値 {-3+√(13+16√2)}/2 を見出せる方はいないと思うので、
以下、相加相乗平均の不等式は使いませんが、最小値の存在とその値の求め方を解説します。

f'(x) = (x^4+2x^3+x^2-2x-1)/{(x^2)(x+1)^2}

f'(x)の分母は正なので、分子の符号を調べます。
g(x) = x^4+2x^3+x^2-2x-1 とおくと、
g'(x) = 4x^3+6x^2+2x-2
g''(x) = 12x^2+12x+2 = 3(2x+1)^2-1 > 0
# x > 0なので2x+1 > 1 ⇒ 3(2x+1)^2 > 3

x > 0 で g''(x) > 0 なので g'(x) は単調増加です。
g'(0) = -2, g'(1) = 10 なので、0 < u < 1 となる実数uで g'(u) = 0
0 < x < u で g'(x) < 0 なのでg(x)は減少、g(x) < 0
x = u で g'(x) = 0 なのでg(x)は極小、g(x) < 0
u < x で g'(x) > 0 なのでg(x)は増加

つまり、0 < u < w < 1 となる実数wが存在して、
u < x < w で g'(x) > 0 なのでg(x)は増加、g(x) < 0
x = w で g'(x) > 0 なのでg(x)は増加、g(x) = 0
w < x で g'(x) > 0 なのでg(x)は増加、g(x) > 0
となる訳で、g(x)とf'(x)の符号は同じだから x = w でf(x)は極小になるといえます。

g(x) = 0 となる x = w を求めます。フェラーリの公式を使うた為、y = x+1/2とおくと、
x^4+2x^3+x^2-2x-1 = y^4-(1/2)y^2-2y+1/16 = 0
⇒ y^4+z(y^2)+(z^2)/4 = (z+1/2)y^2+2y+((z^2)/4-1/16)

右辺も平方完成できるようにzを定めます。分解方程式は右辺の2次式の判別式を0とおけば良いので
2^2-4(z+1/2)((z^2)/4-1/16) = 0
⇒ z^3+(1/2)z^2-(1/4)z-33/8 = 0
⇒ 8z^3+4z^2-2z-33 = (2z-3)((2z)^2+4(2z)+11) = 0

z = 3/2 と選ぶと、
⇒ (y^2+3/4)^2 = 2(y+1/2)^2
⇒ {y^2-(√2)y+(3-2√2)/4}{y^2+(√2)y+(3+2√2)/4} = 0
と因数分解できます。

上記後半の2次方程式は実数解を持ちません。
前半の2次方程式は実数解を持ちますが、x = y-1/2 > 0 を満たすのは
y = {(√2)+√(2√2-1)}/2 のみで、w = {(-1+√2)+√(2√2-1)}/2 となります。
よって、最小値は f(w) = {-3+√(13+16√2)}/2 となります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52885 / ResNo.2)

　Re[1]: 相加相乗で

□投稿者/ WIZ 一般人(12回)-(2025/05/26(Mon) 07:24:14)

2025/05/26(Mon) 15:22:36 編集(投稿者)

最小値が存在することを前提とする別解です。

f(x) = x+1/(x^2+x) ≧ 2√(1/(x+1)) > 0 なので、最小値sは s > 0 となります。
すると、f(x) = (x^3+x^2+1)/(x^2+x) ≧ s となりますが、
x^2+x > 0ですので、(x^3+x^2+1)-s(x^2+x) ≧ 0 となります。

つまり、h(x) = x^3+(1-s)x^2-sx+1 ≧ 0 とおくことができます。
またwを正の実数定数として h(w) = 0 ならば、s = f(w) が求める最小値となります。

h'(x) = 3x^2+2(1-s)x-s です。
x > 0 の範囲で「h(x) ≧ 0」かつ「h(x) = 0となるxが存在する」ということは、
xy座標で y = h(x) のグラフが x > 0 の範囲で極小値を持ち、その極小なる点でx軸に接する必要があります。
h(x)が極小になるのが x = w > 0 とすると、「x = wはh(x) = 0の重解」かつ「h'(w) = 0」となることが必要です。

h(w) = w^3+(1-s)w^2-sw+1 = 0・・・・・(1)
h'(w) = 3w^2+2(1-s)w-s = 0・・・・・(2)

(1)より、3w^3+3(1-s)w^2-3sw+3 = 0・・・・・(3)
(2)より、3w^3+2(1-s)w^2-sw = 0・・・・・(4)
(3)-(4)より、(1-s)w^2-2sw+3 = 0
⇒ 3(1-s)w^2-6sw+9 = 0・・・・・(5)

(2)より、3(1-s)w^2+2((1-s)^2)w-s(1-s) = 0・・・・・(6)
(6)-(5)より、{2((1-s)^2)+6s}w-s(1-s)-9
⇒ 2(s^2+s+1)w+(s^2-s-9)

ここで、s^2+s+1 > 0 ですので、w = (-1/2)(s^2-s-9)/(s^2+s+1) となります。

h'(w) = 0 = 3{(-1/2)(s^2-s-9)/(s^2+s+1)}^2+2(1-s)(-1/2)(s^2-s-9)/(s^2+s+1)-s
整理すると s^4+6s^3+7s^2-6s-31 = 0 となります。

4次方程式 s^4+6s^3+7s^2-6s-31 = 0 をフェラーリの公式を使って解こうとすると、
分解方程式は有理数解を持たないので簡単には因数分解できません。
分解方程式をカルダーノの公式で解くことはできますが、解は非常に複雑な式となり、
元の4次方程式の因数分解も非常に困難な計算となり、諦めました(!)。

そこで、複2次式に変形できないか試行錯誤の末、以下のようになりました。
a, b, c, dを定数として、
s^4+6s^3+7s^2-6s-31
= (s^2+as+b)^2+c(s^2+as+b)+d
= s^4+2as^3+(a^2+2b+c)s^2+(2ab+ac)s+(b^2+bc+d)
と変形できると仮定します。

係数を比較して、
2a = 6・・・・・(A)
a^2+2b+c = 7・・・・・(B)
2ab+ac = -6・・・・・(C)
b^2+bc+d = -31・・・・・(D)

(A)より、a = 3・・・・・(E)
(E)を(B)に代入すると、3^2+2b+c = 7 ⇒ 2b+c = -2・・・・・(F)
(E)を(C)に代入すると、2*3b+3c = -6 ⇒ 2b+c = -2・・・・・(Fと同じ)
⇒ c = -2b-2・・・・・(G)

(G)を(D)に代入すると、b^2+b(-2b-2)+d = -31 ⇒ -b^2-2b+d = -31・・・・・(H)
(G)(H)と式が2個で変数は3個なので、b = 0とすれば c = -2, d = -31 となります。

以上から、
s^4+6s^3+7s^2-6s-31 = (s^2+3s)^2-2(s^2+3s)-31 = 0
⇒ s^2+3s = 1±√32 = 1±4√2

s^2+3s > 0 なので、s^2+3s = 1+4√2 です。
⇒ s = {-3±√(13+16√2)}/2

s > 0 なので、s = {-3+√(13+16√2)}/2 となります。
# 本当はwの値を求めるなりして、w > 0 を確認する必要がありますが・・・省略!

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■52879 / 親記事)

　微分で関数の最大値を求める

□投稿者/ 星は昴一般人(1回)-(2025/05/24(Sat) 18:30:11)

　　f(x) = (n+mx)/√(1+x^2 ) = (n+mx)/(1+x^2 )^(1/2)　　 (n,m は正の定数:x>0)

　　f'(x) = (m-nx)/{(1+x^2 )√(1+x^2 )} = 0

　　x = m/n
　　x<m/n⇒f'(x)>0
　　x>m/n⇒f'(x)<0

　したがってf(x)はx = mnで極大値をとる。

　　f(m/n) = √{(n^2+m^2)/n}　 ①

　　lim[x→∞](n+mx)/√(1+x^2 ) = lim[x→∞](n/x+m)/√(1/x^2 +1) = m ……②

　　lim[x→∞](n+mx)/√(1+x^2 ) = n ……③

　①が最大値であることを示すために、①②③の二乗を比較して①＞②、①＞③を証明したいがうまくいきません。
　①と③を比較して

　　{(n^2+m^2)/n}/n^2 = (n^2+m^2)/n^3

とやっても、大小関係がわかりません。どうしたらいいでしょうか？

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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■52881 / ResNo.1)

　Re[1]: 微分で関数の最大値を求める

□投稿者/ らすかる一般人(30回)-(2025/05/24(Sat) 18:55:41)

x＜m/n ⇔ f'(x)＞0
x＞m/n ⇔ f'(x)＜0
とわかっているならば、それだけでf(m/n)が最大値と決まりますので
②や③の計算は不要です。

また、①は間違っています。f(m/n)=√(n^2+m^2)です。

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■52882 / ResNo.2)

　微分で関数の最大値を求める

□投稿者/ 星は昴一般人(2回)-(2025/05/24(Sat) 19:02:08)

　すばやい回答まことにありがとうございます。
> x＜m/n ⇔ f'(x)＞0
> x＞m/n ⇔ f'(x)＜0
> とわかっているならば、それだけでf(m/n)が最大値と決まります
　極値（この場合極大値）が１つしかないからですか？

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■52884 / ResNo.3)

　Re[3]: 微分で関数の最大値を求める

□投稿者/ らすかる一般人(31回)-(2025/05/25(Sun) 11:36:47)

結果的にはそういうことになるかも知れませんが、そんな難しいことは考えていません。
グラフで考えて
f(x)はx＜m/nで増加 → xをm/nから減らしていけばf(x)は減少し続ける → x＜m/nの範囲にf(x)≧f(m/n)となるようなxは存在しない
f(x)はx＞m/nで減少 → xをm/nから増やしていけばf(x)は減少し続ける → x＞m/nの範囲にf(x)≧f(m/n)となるようなxは存在しない
ということですから、f(m/n)は最大値になります。
# もちろん、これが言えるのはf(x)が連続だからです。

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■52878 / 親記事)

　自然数　階乗

□投稿者/ ココス一般人(1回)-(2025/05/18(Sun) 09:05:47)

a,b,c,dが自然数で
a! b! +a = c! d! +c
が成り立つとき
(a,b) = (c,d)
であると結論できますか?

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