数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 14]

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■52413 / 親記事)

　三角数の和

□投稿者/ きんぴら5号一般人(8回)-(2023/12/18(Mon) 16:11:18)

ガウスの三角数定理「全ての自然数は3個以下の三角数の和に表せる」の証明ですが
ガウス整数論の二次形式論(三元二次形式)から帰結される
三平方和定理「mとkを非負整数とし(4^m)(8k+7)の形に表せない自然数は3個以下の自然数の平方の和に表せる」
を根拠としているものしか見つけられませんでした。

二次形式論を使用しない初等的な証明はないのでしょうか?
(三角数定理または三平方和定理の初等的な証明は存在するのでしょうか?)

もう一つ「全ての自然数が3個以下の三角数の和」かつ「自然数は乗法に閉じている」ことから
「3個以下の三角数の和に表せる数は乗法に閉じている」といえると思います。
このことを直接証明することはできるのでしょうか?

n,u,a,b,c,v,p,q,rは非負整数としてT(n)=n(n+1)/2とおきます。
u=T(a)+T(b)+T(c),v=T(p)+T(q)+T(r)ならば
uv=T(x)+T(y)+T(z)となる非負整数x,y,zは存在すると言えるでしょうか?

よろしくお願いいたします。

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■52412 / 親記事)

　コラッツ予想

□投稿者/ 成清　愼一般人(1回)-(2023/12/17(Sun) 12:43:52)

twitter.com/makotonarikiyo/status/1733705839184331230
宜しくご査収の上ご批評賜りたくお願い申し上げます。

引用返信/返信 [メール受信/ON]

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■52301 / 親記事)

　平方数

□投稿者/ 鯖鮨一般人(1回)-(2023/09/07(Thu) 01:38:28)

整数n,x,yが|x^2-(n^2+1)y^2|<2nを満たしているとき
|x^2-(n^2+1)y^2|が平方数になるのは何故ですか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■52410 / ResNo.1)

　Re[1]: 平方数

□投稿者/ WIZ 一般人(11回)-(2023/12/12(Tue) 16:47:06)

x, yを整数として、f(x, y) = x^2-(n^2+1)y^2とおきます。
y = 0の場合、f(x, 0) = x^2なので、|f(x, y)| < 2nという条件に関わらず題意は成立します。
以下、y ≠ 0つまりy^2 ≧ 1とします。

0 ≦ |f(x, y)| < 2nなので、nは正の整数です。

|f(x, y)| < 2n
⇒ -2n < x^2-(n^2+1)y^2 < 2n
⇒ (n^2+1)y^2-2n < x^2 < (n^2+1)y^2+2n
⇒ (n^2+1)-2n/(y^2) < (x/y)^2 < (n^2+1)+2n/(y^2)
⇒ (n^2+1)-2n ≦ (n^2+1)-2n/(y^2) < (x/y)^2 < (n^2+1)+2n/(y^2) ≦ (n^2+1)+2n
⇒ (n-1)^2 < (x/y)^2 < (n+1)^2
⇒ n-1 < |x/y| < n+1
⇒ n-1 < |x|/|y| < n+1
⇒ (n-1)|y| < |x| < (n+1)|y|

よって、整数rを|r| < |y|として、|x| = n|y|+rとおけます。
また、f(±x, y) = f(|x|, y)です。

f(x, y) = f(|x|, y) = f(n|y|+r, y)
= (n|y|+r)^2-(n^2+1)y^2
= ((ny)^2+2n|y|r+r^2)-(ny)^2-y^2
= 2n|y|r+r^2-y^2
= r^2+(nr)^2-((nr)^2-2n|y|r+y^2)
= (n^2+1)r^2-(nr-|y|)^2
= -f(nr-|y|, r)

つまり、|f(x, y)| = |f(n|y|+r, y)| = |f(nr-|y|, r)|と変形できます。
|r| < |y|だから、この変形を繰り返していけば、いずれr = 0に到達します。
f(z, 0) = z^2なので、|f(x, y)| < 2nであれば|f(x, y)|は平方数と言えます。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52230 / 親記事)

　整数問題

□投稿者/ 葉一般人(2回)-(2023/06/29(Thu) 00:05:39)

整数 a,b,c が |a^2-b^2-2abc|<2c を満たしているとき、
abc が偶数であることの証明を教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■52409 / ResNo.1)

　Re[1]: 整数問題

□投稿者/ WIZ 一般人(10回)-(2023/12/11(Mon) 20:44:17)

2023/12/13(Wed) 17:27:27 編集(投稿者)

0 ≦ |a^2-b^2-2abc| < 2cよりc > 0です。
a = 0またはb = 0ならばabc = 0は偶数なので題意は成立します。
以下a ≠ 0かつb ≠ 0とします。

a = bと仮定すると、|a^2-b^2-2abc| = |-2(a^2)c| = 2(a^2)c < 2c
より、a = 0となりますので、以下a ≠ bとします。

a < 0かつb > 0ならば、-a > 0なので、
|a^2-b^2-2abc| = |(-a)^2-b^2+2(-a)bc| = |b^2-(-a)^2-2(-a)bc| < 2c

a > 0かつb < 0ならば、-b > 0なので、
|a^2-b^2-2abc| = |a^2-(-b)^2+2a(-b)c| = |(-b)^2-a^2-2a(-b)c| < 2c

a < 0かつb < 0ならば、-a > 0かつ-b > 0なので、
|a^2-b^2-2abc| = |(-a)^2-(-b)^2-2(-a)(-b)c| < 2c

いずれも、a > 0かつb > 0における|a^2-b^2-2abc| < 2cの形の不等式評価に帰着します。

a < bと仮定すると、a^2-b^2 < 0かつ-2abc < 0と同符号になりますので、
|a^2-b^2-2abc| = |a^2-b^2|+|-2abc| > 2abc > 2cと題意の条件を満たしません。
# a > 0かつb > 0かつa ≠ bなので、ab > 1*2です。
よって、a > bと言えます。

-2c < a^2-b^2-2abc < 2c
⇒ b^2-2c < a^2-2abc < b^2+2c

b^2 ≧ 1なので、
⇒ 1-2c/(b^2) < (a/b)^2-2(a/b)c < 1+2c/(b^2)
⇒ 1-2c < 1-2c/(b^2) < (a/b)^2-2(a/b)c < 1+2c/(b^2) < 1+2c
⇒ 1-2c+c^2 < (a/b)^2-2(a/b)c+c^2 < 1+2c+c^2
⇒ (c-1)^2 < (c-a/b)^2 < (c+1)^2
⇒ |c-1| < |c-a/b| < |c+1|・・・(3)
# c-1 ≧ 0かつc+1 > 0です。

以下で場合分けします。
(1.1)c-a/b ≧ 0
(1.2)c-a/b < 0

(1.1)ならば(3)より、
⇒ c-1 < c-a/b < c+1
⇒ -1 < -a/b < 1
⇒ -1 < a/b < 1
⇒ 0 < a < b

a > bが必要なので、(1.1)c-a/b ≧ 0の場合は存在しないと言えます。

(1.2)ならば
c-a/b < 0より、a-bc > 0或いはa > bcです。

(3)より、
⇒ c-1 < a/b-c < c+1
⇒ -1 < a/b-2c = (a-2bc)/b < 1
⇒ -b < a-2bc < b
⇒ b(2c-1) < a < b(2c+1)

rを整数で-b < r < bとして、a = 2bc+rとおきます。

-2c < (2bc+r)^2-b^2-2(2bc+r)bc < 2c
⇒ -2c < (4(bc)^2+4bcr+r^2)-b^2-(4(bc)^2+2bcr) < 2c
⇒ -2c < 2bcr+r^2-b^2 < 2c
⇒ -2c < b^2-r^2-2bcr < 2c・・・(4)
⇒ 0 < b^2-r^2 < 2c(br+1)

0 < 2c(br+1)より、0 < br+1となり、0 ≦ brから、r ≧ 0といえます。

a > b > rですから、(4)は正の整数aがより小さい非負整数rに置き換わっただけです。
r = 0ならa = 2bcなので題意の成立が示されたことになるので、
(a, b)が(b, r)というより小さな正の整数の評価へ還元された訳です。

この還元を繰り返すことでrは徐々に小さくなっていき、最終的には0になるはずです。
a = 2bc+rですから、a ≡ r (mod 2)なので、abc ≡ bcr (mod 2)と言えます。

a ≧ 2bc ≧ 2なら、(a, b)⇒(b, r)つまりa/2 ≧ b > rに置き換えられる。
a > b > 0なので、2がaの最小値。a = 2を還元すると、
a = 2 = 2bc+1 ≧ 2*1*1+1 = 3は不可能なので、r = 0つまりa = 2bc+0しかないので題意は成立する。

r = 0であれば、a^2-b^2-2abc = r^2-b^2+2bcr = -b^2なので、
|a^2-b^2+2abc| = |-b^2|と絶対値が平方数となるのも頷けますね。

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■52406 / 親記事)

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□投稿者/ kei 一般人(4回)-(2023/12/09(Sat) 12:17:53)