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■記事リスト / ▼下のスレッド
■52463 / 親記事) 　tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する
□投稿者/ スフィンクス 一般人(1回)-(2024/02/06(Tue) 00:21:31)
    tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開するときの係数 c_1 を求める。

    c_1
    = lim[z→π/2] (d/dz)^2 { (z - π/2) tan(z) }/(2！)
    = lim[z→π/2] (d/dz) { tan(z) + (z - π/2)/(cos(z))^2 }/2
    = lim[z→π/2] { 2/(cos(z))^2 + (z - π/2)(2 sin(z))/(cos(z))^3 }/2
    = lim[z→π/2] { (cos(z)) + (z - π/2)(sin(z)) }/(cos(z))^3
    = lim[z→π/2] { (d/dz) { (cos(z)) + (z - π/2)(sin(z)) } }/{ (d/dz) (cos(z))^3 }
    = lim[z→π/2] { (z - π/2)(cos(z)) }/{ 3 (cos(z))^2 (- sin(z)) }　…… (A)
    = lim[z→π/2] (-1/3)(1/sin(z))/{ (cos(z) - 0)/(z - π/2) }　　　 …… (B)
    = (-1/3)(1/1)/{ -1 }
    = 1/3.

    　A)から(B)の変形をもう少し詳しく教えてください。また、(B)の分母
    　　(cos(z) - 0)/(z - π/2)
    がz→π/2で-1になるのもよくわかりません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■52464 / ResNo.1) 　Re[1]: tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する
□投稿者/ WIZ 一般人(21回)-(2024/02/06(Tue) 08:16:21)
    計算の部分だけ
    > { (z - π/2)(cos(z)) }/{ 3 (cos(z))^2 (- sin(z)) }　…… (A)
    ⇒ (-1/3)(1/sin(z)){(z-π/2)/cos(z)}
    ⇒ (-1/3)(1/sin(z))/{cos(z)/(z-π/2)}
    > (-1/3)(1/sin(z))/{ (cos(z) - 0)/(z - π/2) }　　　 …… (B)

    # あえて{(z-π/2)/cos(z)}を1/{(z-π/2)/cos(z)}変形する必要はないと思うけど
    # 模範解答(?)がそうなっているのなら仕方ない。

    cos(π/2) = 0だから、
    lim[z→π/2](cos(z)-0)/(z-π/2)
    = lim[z→π/2](cos(z)-cos(π/2))/(z-π/2)
    = cos'(π/2)
    = -sin(π/2)
    = -1

    或いはz→π/2で、(cos(z)-0)→0かつ(z-π/2)→0だから、ロピタルの定理より
    lim[z→π/2](cos(z)-0)/(z-π/2)
    = lim[z→π/2](-sin(z))/1
    = -1
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52465 / ResNo.2) 　Re[2]: tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する
□投稿者/ スフィンクス 一般人(2回)-(2024/02/06(Tue) 16:11:31)
    丁寧な回答まことにありがとうございました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■52451 / 親記事) 　複素数平面
□投稿者/ 大学数学 一般人(1回)-(2024/01/14(Sun) 05:04:33)
    どう手をつけたらいいかも分からないです。

    画像参照です。

    (携帯)
1077×226 => 250×52

IMG_0738.jpeg/91KB
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52462 / ResNo.1) 　Re[1]: 複素数平面
□投稿者/ muturajcp 一般人(1回)-(2024/02/05(Mon) 22:14:11)
    w=z^(-1)
    (A)
    z=x+ai
    a≠0とする
    w=(x+ai)^(-1)=(x-ai)/(x^2+a^2)
    wの共役複素数をw~とすると
    w~=(x+ai)/(x^2+a^2)
    ww~=1/(x^2+a^2)
    w-w~=-2ai/(x^2+a^2)=-2aiww~
    w-w~=-2aiww~
    ↓両辺に2aiww~を加えると
    2aiww~+w-w~=0
    ↓a≠0両辺に-i/(2a)をかけると
    ww~-wi/(2a)+w~i/(2a)=0
    ↓両辺に1/(4a^2)を加えると
    {w+i/(2a)}{w~-i/(2a)}=1/(4a^2)
    {w+i/(2a)}{w-i/(2a)}~=1/(4a^2)
    |w+i/(2a)|^2=1/(4a^2)
    ↓両辺を1/2乗すると
    |w+i/(2a)|=1/(2a)

    中心-i/(2a)半径1/(2a)の円

    (B)
    z=a+yi
    a≠0とする
    w=(a+yi)^(-1)=(a-yi)/(a^2+y^2)
    w~=(a+yi)/(a^2+y^2)
    ww~=1/(a^2+y^2)
    w+w~=2a/(a^2+y^2)=2aww~
    2aww~=w+w~
    ↓両辺に-w-w~を加えると
    2aww~-w-w~=0
    ↓a≠0両辺に1/(2a)をかけると
    ww~-w/(2a)-w~/(2a)=0
    ↓両辺に1/(4a^2)を加えると
    {w-1/(2a)}{w~-1/(2a)}=1/(4a)^2
    {w-1/(2a)}{w-1/(2a)}~=1/(4a)^2
    |w-1/(2a)|^2=1/(4a)^2
    ↓両辺を1/2乗すると
    |w-1/(2a)|=1/(2a)

    中心1/(2a)半径1/(2a)の円
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■52449 / 親記事) 　複素数 証明（難）
□投稿者/ （т-т） 一般人(1回)-(2024/01/14(Sun) 05:02:31)
    2024/01/14(Sun) 05:06:50 編集(投稿者)
    2024/01/14(Sun) 05:05:40 編集(投稿者)

    複素数の証明ができません。
    zw=-1+√3i
    極形式が
    w=2e^(2π/3-θ)i
    （θは実数）
    という所までしか分かりません。

    画像参照です！
    (携帯)
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IMG_0735.jpeg/104KB
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■52455 / 親記事) 　確率の問題が分かりません　助けてください
□投稿者/ 一般人 一般人(1回)-(2024/01/16(Tue) 19:40:41)
    確率の問題で分からない問題があったので、詳しい方がいたら教えてくださると助かります。

    英文の投稿短編小説を検索すると、その短編小説に含まれる文法の誤りの数を X
    個所とし、X を確率変数とすると、X は平均 7 個所の誤りがある。確率変数 X は平均
    7 のポアソン分布に従うと仮定するとき、以下の問題に答えなさい。
    なお、回答は数値まで求めなくてよく求める計算式で表現できていればよく例えば、途中
    に&#119890;
    &#119909;という形式が出てきた場合はそのままでよい。
    (1) 短編小説を無作為に選ぶとき、この短編小説に含まれる文法の誤りが 1 個所である確
    率を求めなさい。またこの
    (2) 短編小説に含まれる文法の誤りが、少なくとも 2 個所ある確率を求めなさい。
    (3) X の分散の値を求めよ。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■52460 / ResNo.1) 　Re[1]: 確率の問題が分かりません　助けてください
□投稿者/ ポテトフライ 一般人(2回)-(2024/01/19(Fri) 10:57:22)
    定数λのポアソン分布をPo(λ)と書くと、本問ではX~Po(λ)である。
    このとき、E[X]=Var[X]=λであり、条件からλ=7である。
    (1)
    P(X=1)を計算

    (2)
    余事象を考えて
    1-PX=0)-P(X=1)
    を計算すればよい。

    (3)
    上述の通りVar[X]=7
    (多分出題者の意図は分散の定義式E[(X-E[X])^2]にしたがって計算せよというものだと思うが)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■52456 / 親記事) 　極限
□投稿者/ waka 一般人(1回)-(2024/01/17(Wed) 18:51:22)
    極限の問題です。

    lim[x→∞]x^(1/x)
    ロピタルの定理を使わずに解いていただけますか。
    よろしくお願いいたします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■52457 / ResNo.1) 　Re[1]: 極限
□投稿者/ X 一般人(8回)-(2024/01/17(Wed) 19:14:51)
    f(x)=√x-logx
    と置くと
    f'(x)=1/(2√x)-1/x=(√x-2)/(2x)
    ∴4≦xにおいて
    f(x)≧f(4)=2-log2＞0
    ∴logx＜√x (4≦x)
    となるので
    0＜(logx)/x＜1/√x (4≦x)
    ∴はさみうちの原理により
    lim[x→∞](logx)/x=0
    となるので
    (与式)=lim[x→∞]e^{(logx)/x}=1
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52458 / ResNo.2) 　Re[1]: 極限
□投稿者/ WIZ 一般人(20回)-(2024/01/17(Wed) 20:59:57)
    > Xさん

    結果に偶然影響はないですが、計算間違いをされています。
    > f(x)≧f(4)=2-log2＞0
    f(x) ≧ f(4) = (√4)-log(4) = 2-2log(2) > 0
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■52459 / ResNo.3) 　Re[2]: 極限
□投稿者/ X 一般人(9回)-(2024/01/18(Thu) 06:18:02)
    ＞＞WIZさんへ
    ご指摘ありがとうございます。

    ＞＞wakaさんへ
    ごめんなさい。WIZさんの仰る通りです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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