数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 17]

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高校数学期待値の問題です(2) |

二項係数(1) |

フェルマーの最終定理の普通の証明(10) |

高校数学レベルの定積分(2) |

場合の数 (カタラン数に関係したもの)(2) |

ζ関数(0) |

G(0) |

岩波講座基礎数学集合の補題6.1についての質問(1) |

羅生門(0) |

確率(2) |

約数の個数(5) |

52545の「約数の個数」の式変形について(4) |

体(3) |

約数(0) |

素数(2) |

tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する(2) |

複素数平面(1) |

複素数証明（難）(0) |

確率の問題が分かりません　助けてください(1) |

極限(3) |

確率(2) |

初等数学によるフェルマーの最終定理の証明(5) |

中学数学によるフェルマーの最終定理の証明(1) |

確率(1) |

1/{z^2(z-1)^2} z=0でローラン展開(1) |

速度(2) |

極限(0) |

質問(2) |

■52355 / 親記事)

　定積分

□投稿者/ cysteine 一般人(1回)-(2023/10/10(Tue) 19:36:08)

∫[0→π] (√sinθ) sin(θ/2) dθ
の求め方をご教示下さい

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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■52365 / ResNo.1)

　Re[1]: 定積分

□投稿者/ X 一般人(10回)-(2023/10/13(Fri) 19:15:19)

ガリガリ解くと以下の通りです。
(お勧めはできませんが。)

tan(θ/2)=t
と置くと、
θ:0→π
に
t:0→∞
が対応し、
sinθ=2t/(1+t^2)
sin(θ/2)=t/√(1+t^2)
dθ=2dt/(1+t^2)
∴(与式)=2√2∫[t:0→∞]{(t√t)/(1+t^2)^2}dt
更に
√t=u
と置くと
t=u^2
dt=2udu
で
(与式)=4√2∫[u:0→∞]{(u^4)/(1+u^4)^2}du
=4√2{∫[u:0→∞]du/(1+u^4)-∫[u:0→∞]du/(1+u^4)^2} (A)
ここで
I=∫[u:0→∞]du/(1+u^4) (B)
とすると
I=[u/(1+u^4)][u:0→∞]+4∫[u:0→∞]{(u^4)/(1+u^4)^2}du
=4I-4∫[u:0→∞]du/(1+u^4)^2
∴∫[u:0→∞]du/(1+u^4)^2=(3/4)I
となるので(A)(B)から
(与式)=(√2)∫[u:0→∞]du/(1+u^4)

さて、
1+u^4=(1+u^2)^2-2u^2
=(u^2+u√2+1)(u^2-u√2+1)
に注意すると
1/(1+u^4)=(au+b)/(u^2+u√2+1)+(cu+d)/(u^2-u√2+1) (C)
(a,b,c,dは定数)
の形に部分分数分解でき、(C)の右辺を通分すると
((C)の右辺を通分したときの分子)=(u^2-u√2+1)(au+b)+(u^2+u√2+1)(cu+d)
=(a+c)u^3+(b+d-a√2+c√2)u^2+(a+c-b√2+d√2)u+b+d
∴(C)の両辺の係数比較により
a+c=0 (D)
b+d-a√2+c√2=0 (E)
a+c-b√2+d√2=0 (F)
b+d=1 (G)
(D)(E)(F)(G)を連立で解いて
(a,b,c,d)=(1/(2√2),1/2,-1/(2√2),1/2)

∴1/(1+u^4)=(u/√2+1)/{2(u^2+u√2+1)}+(-u/√2+1)/{2(u^2-u√2+1)}
となるので
(与式)=(1/2)∫[u:0→∞]{(u+√2)/(u^2+u√2+1)-(u-√2)/(u^2-u√2+1)}du
=(1/4)∫[u:0→∞]{(2u+2√2)/(u^2+u√2+1)-(2u-2√2)/(u^2-u√2+1)}du
=(1/4)∫[u:0→∞]{(2u+√2)/(u^2+u√2+1)+(√2)/{(u+1/√2)^2+1/2}
-(2u-√2)/(u^2-u√2+1)+(√2)/{(u-1/√2)^2+1/2}}du
=(1/4)[log{(u^2+u√2+1)/(u^2-u√2+1)}+2arctan(u√2+1)+2arctan(u√2-1)][u:0→∞]
=(1/4)・2π
=π/2

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■52357 / 親記事)

　複素数平面

□投稿者/ waka 一般人(1回)-(2023/10/12(Thu) 13:05:25)

すみません。問題と質問内容はファイルにしました。よろしくお願いいたします。

745×1053 => 177×250

1697083525.jpg/116KB

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▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]

■52359 / ResNo.2)

　Re[2]: 複素数平面

□投稿者/ waka 一般人(2回)-(2023/10/12(Thu) 18:31:48)

ありがとうございます。確かに教科書にそう書いてありました。
この方法でやることはこの問題では無理なのでしょうか？
もし添付ファイルの解き方で解けるのであれば教えていただきたいです。
どうしてもこの形だと両辺を2乗したくなります。
よろしくお願いいたします。

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■52360 / ResNo.3)

　Re[3]: 複素数平面

□投稿者/ らすかる一般人(23回)-(2023/10/13(Fri) 00:14:27)

普通にzに関する二次方程式
(√3+i)z^2-4z+4(√3-i)=0
を解の公式で解けばよいと思います。

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■52361 / ResNo.4)

　Re[4]: 複素数平面

□投稿者/ waka 一般人(3回)-(2023/10/13(Fri) 08:54:33)

ありがとうございました。解けました。
念のため確認なのですが、解の公式で係数が虚数のときでも、zに関する2次方程式の時には解の公式が使えるという認識でよろしいでしょうか。係数が虚数の時は使えないという問題があったと思うのですが。

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■52362 / ResNo.5)

　Re[5]: 複素数平面

□投稿者/ らすかる一般人(24回)-(2023/10/13(Fri) 09:04:47)

解の公式は
ax^2+bx+c=0
a(x+b/(2a))^2-b^2/(4a)+c=0
a(x+b/(2a))^2=(b^2-4ac)/(4a)
(x+b/(2a))^2=(b^2-4ac)/(4a^2)
x+b/(2a)=±√(b^2-4ac)/(2a)
x={-b±√(b^2-4ac)}/(2a)
というただの式変形ですから、虚数でも問題なく使えます。
√の中身が虚数になる場合は展開する必要がありますが、
今回の問題では（負の）実数ですのでそのような問題もありません。

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■52363 / ResNo.6)

　Re[3]: 複素数平面

□投稿者/ パン一般人(1回)-(2023/10/13(Fri) 09:45:32)

(√3+i)z^2-4z+4(√3-i)=0
(√3+i)z^2-(√3+i)(√3-i)z+(√3+i)(√3-i)^2=0
z^2-(√3-i)z+(√3-i)^2=0
z^2+(i-√3)z+(i-√3)^2=0
z^3-(i-√3)^3=0
z^3=(i-√3)^3
z=(i-√3)ωと(i-√3)ω^2

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■52352 / 親記事)

　円に内接する四角形

□投稿者/ 平松一般人(1回)-(2023/10/10(Tue) 14:39:51)

円に面積が4の四角形が内接しており、その四角形のどこか隣り合う二辺はどちらも長さが1である。
このような状況において考えうる円の直径の最小の値はいくらになるのか教えて下さい。

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■52353 / ResNo.1)

　Re[1]: 円に内接する四角形

□投稿者/ らすかる一般人(21回)-(2023/10/10(Tue) 15:25:14)

AB=BC=1,AC=2aとすると△ABCの外接円の半径は1/{2√(1-a^2)}となり
円に内接する四角形の面積Sの範囲は
a√(1-a^2)＜S≦a/√(1-a^2)
a/√(1-a^2)=4を解くとa^2=16/17なので
円の直径の最小値は1/√(1-a^2)にこの値を代入して√17

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■52354 / ResNo.2)

　Re[2]: 円に内接する四角形

□投稿者/ 平松一般人(2回)-(2023/10/10(Tue) 17:49:16)

なるほど…たしかにおっしゃる通りですね。
全然気づきませんでしたが、こう考えれば簡単ですね。
ありがとうございました。

解決済み!

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■52341 / 親記事)

　不等式

□投稿者/ ガウ一般人(1回)-(2023/10/02(Mon) 13:53:04)

1+x^2(x^2-3)y^2+x^2y^4>0
教えてください

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▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]

■52342 / ResNo.1)

　Re[1]: 不等式

□投稿者/ らすかる一般人(18回)-(2023/10/02(Mon) 14:06:09)

ただ不等式が書かれただけでは何をすればよいのかわかりませんが、
何を教えてほしいのですか？

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■52343 / ResNo.2)

　Re[2]: 不等式

□投稿者/ ガウ一般人(2回)-(2023/10/02(Mon) 19:57:07)

多項式f[1](x,y),f[2](x,y),f[3](x,y),f[4](x,y),f[5](x,y),f[6](x,y)で
1+x^2(x^2-3)y^2+x^2y^4=(f[1](x,y)/f[2](x,y))^2+(f[3](x,y)/f[4](x,y))^2+(f[5](x,y)/f[6](x,y))^2
が常に成り立つものを見つけることによって任意の実数x,yに対して
1+x^2(x^2-3)y^2+x^2y^4>0
が成り立つことを証明する方法を教えてください

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■52345 / ResNo.3)

　Re[3]: 不等式

□投稿者/ らすかる一般人(20回)-(2023/10/03(Tue) 18:42:21)

x=±1,y=±1のとき(左辺)=0となって成り立たず証明できませんが、
もし問題が
1+x^2(x^2-3)y^2+x^2y^4＞0
でなく
1+x^2(x^2-3)y^2+x^2y^4≧0
ならば
1+x^2(x^2-3)y^2+x^2y^4
={(x^2+y^2+1)(x^2y^2-1)^2+x^2y^2(x^2-y^2)^2} / {(x^2+1)(y^2+1)}
≧0　（等号はx=±1,y=±1（複号任意）のとき）
のように示せますね。

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■52348 / ResNo.4)

　Re[4]: 不等式

□投稿者/ ガウ一般人(3回)-(2023/10/05(Thu) 13:33:54)

ありがとうございます!!m(_ _)m

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■52346 / 親記事)

　代数学

□投稿者/ wer 一般人(1回)-(2023/10/05(Thu) 00:04:55)

大学数学代数学正規部分群に関する証明問題です。どなたかご教授よろしくお願いいたします。分かる箇所だけでも大丈夫です。

1404×824 => 250×146

1696431895.png/128KB

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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■52347 / ResNo.1)

　Re[1]: 代数学

□投稿者/ 運動しなきゃ一般人(1回)-(2023/10/05(Thu) 05:11:04)

(1),(2)はここに書いてありました
http:// proofwiki.org/wiki/Intersection_with_Normal_Subgroup_is_Normal
http:// proofwiki.org/wiki/Subset_Product_of_Normal_Subgroups_is_Normal

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