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■50707 / 親記事) 　極形式
□投稿者/ 出川マリエ 一般人(1回)-(2021/04/17(Sat) 08:00:02)
    θ, φ, ｒ, α は実数で、
    ０≦θ≦π
    ０≦φ≦π
    ｒ＞０
    ｒ(cosα＋ｉsinα)＝２cosθ＋２ｉsinθ＋cos(θ-φ)＋ｉsin(θ-φ)
    を満たしている。
    cosθ を ｒ と α であらわせ。

    教えて下さい。
    よろしくお願いします。
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▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]
■50709 / ResNo.2) 　Re[2]: 極形式
□投稿者/ 出川マリエ 一般人(2回)-(2021/04/17(Sat) 13:44:41)
    有難うございます。
    ±はどちらもありますか？
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■50710 / ResNo.3) 　Re[3]: 極形式
□投稿者/ らすかる 一般人(31回)-(2021/04/17(Sat) 14:08:28)
    もしどちらかしかない場合は排除しなければなりませんので
    検討しましたが、どちらもありました。
    （ただし、値によっては一方が不適解の場合もあります）
    例えばα=π/4, r={√2+√6-2√(√3-1)}/2のときθ=π/6,π/3となりますが、
    図を描いてみればどちらも適解であることがわかります。
    r(cosα+isinα)が(1+√3-√(2√3-2))(1+i)/2≒0.761+0.761iで
    θ=π/6のとき2cosθ+2isinθ=√3+i≒1.732+i、
    θ=π/3のとき2cosθ+2isinθ=1+(√3)i≒1+1.732iとなり、
    いずれもr(cosα+isinα)≒0.761+0.761iまでの距離が1ですので
    条件を満たすφが存在します。

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■50711 / ResNo.4) 　Re[4]: 極形式
□投稿者/ 出川マリエ 一般人(3回)-(2021/04/17(Sat) 15:49:36)
    θ＝π/6 のとき
    0.761＋0.761ｉ＝1.732＋ｉ＋cos(π/6-φ)＋ｉsin(π/6-φ)
    すなわち
    −0.971−0.239ｉ＝cos(π/6-φ)＋ｉsin(π/6-φ)
    これをみたす０≦φ≦πは存在しますか？
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■50712 / ResNo.5) 　Re[5]: 極形式
□投稿者/ らすかる 一般人(32回)-(2021/04/17(Sat) 17:19:20)
    ごめんなさい、勘違いしていました。
    条件は0≦φ≦πなのに勘違いして
    0≦θ-φ≦πで考えてしまっていました。
    0≦φ≦πならば解は一つしかないですね。
    θは大きい方だけ適解なのでcosθは小さい方が適解となり、
    cosθ={(r^2+3)cosα-|sinα|√{16r^2-(r^2+3)^2}}/(4r)
    が解になると思います。

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■50713 / ResNo.6) 　Re[6]: 極形式
□投稿者/ 出川マリエ 一般人(4回)-(2021/04/17(Sat) 18:33:54)
    とんでもないです。
    とても参考になりました。
    有難うございました。
解決済み!
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■50704 / 親記事) 　tanと自然数
□投稿者/ こうさく 一般人(1回)-(2021/04/16(Fri) 01:25:26)
    自然数m,nは、
    tanα=1/m,tanβ=1/n
    を満たす角度α,βをとると
    tan(α+β)が整数になるという。
    m,nを求めよ。

    教えて下さい。
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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50705 / ResNo.1) 　Re[1]: tanと自然数
□投稿者/ らすかる 一般人(29回)-(2021/04/16(Fri) 06:46:37)
    tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
    =(1/m+1/n)/{1-(1/m)(1/n)}
    =(m+n)/(mn-1)
    少なくとも(分母)≦(分子)でなければならないので
    mn-1≦m+n
    mn-m-n-1≦0
    mn-m-n+1≦2
    (m-1)(n-1)≦2
    m=1のときtan(α+β)=(n+1)/(n-1)=1+2/(n-1)となるのでn=2,3
    n=1のときも同様にm=2,3
    m＞1かつn＞1のとき、(m-1)(n-1)≦2を満たす自然数(m,n)の組は
    (2,2),(2,3),(3,2)だが、このうち(2,2)は(m+n)/(mn-1)が整数とならず不適。
    他はすべて条件を満たすので、求める答えは
    (m,n)=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)

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■50706 / ResNo.2) 　Re[2]: tanと自然数
□投稿者/ こうさく 一般人(2回)-(2021/04/16(Fri) 08:38:01)
    ありがとうございます！！
解決済み!
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■50693 / 親記事) 　α^52
□投稿者/ 黒板アート 一般人(1回)-(2021/04/03(Sat) 13:50:51)
    α^3-2α^2+4α-4=0
    のとき
    α^52=p+qα
    をみたす整数p,qが存在することを示せ。(和訳)

    整数論の本を読んでいたら上記演習問題があったのですが、これは手計算で示せるものなのでしょうか？
    単に存在することを示すだけなので、次数を下げていく以外の方法があるのか！？などと思ってみたり…
    どうなんでしょう？教えていただけると幸いです。

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50694 / ResNo.1) 　Re[1]: α^52
□投稿者/ らすかる 一般人(26回)-(2021/04/03(Sat) 17:29:37)
    次数下げとあまり変わりませんが、工夫すると
    (α^3-2α^2+4α-4)(α+2)=α^4+4α-8=0 から α^4=-4α+8
    (α^4+4α-8)α^2-4(α^3-2α^2+4α-4)=α^6-16α+16=0 から α^6=16α-16=16(α-1)
    α^13=α(α^6)^2=256α(α-1)^2=256{(α^3-2α^2+4α-4)-(3α-4)}=256(-3α+4)
    (-3α+4)^4=81α^4-432α^3+864α^2-768α+256
    =81(-4α+8)-432(α^3-2α^2+4α-4)+960α-1472
    =636α-824
    なので
    α^52=(α^13)^4=256^4・(-3α+4)^4=2^32・(636α-824)=2^34・(159α-206)
    となりp=-103・2^35、q=159・2^34でα^52=p+qαが成り立つ。

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■50703 / ResNo.2) 　Re[2]: α^52
□投稿者/ 黒板アート 一般人(2回)-(2021/04/08(Thu) 17:48:13)
    有難うございます。
    私にも・・・辛うじて計算できる方法です。
    α^4を見つけるのが肝要ですね。
    工夫の偉大さを感じました。
解決済み!
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■50697 / 親記事) 　放物線の標準形
□投稿者/ 星は昴 一般人(1回)-(2021/04/05(Mon) 13:31:03)
    4x^2-4xy+y^2-10x-20y=0

    をソフトで描かせたら放物線のようです。これをy軸に対称なように標準化した式にするにはどうしたらいいですか。
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▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]
■50698 / ResNo.1) 　Re[1]: 放物線の標準形
□投稿者/ らすかる 一般人(27回)-(2021/04/05(Mon) 17:29:03)
    軸がy=2xですから、
    x=(2X+Y)/√5
    y=(-X+2Y)/√5
    を代入して回転して整理すると
    Y=X^2/(2√5)
    となります。

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■50699 / ResNo.2) 　Re[2]: 放物線の標準形
□投稿者/ 星は昴 一般人(3回)-(2021/04/05(Mon) 18:57:28)
    　回答ありがとうございます。
    　　4x^2-4xy+y^2-10x-20y=0　･････(1)
    が、y=2xを軸とする放物線であることはどうやって見抜けばいいのでしょうか。

    　教科書には離心率をeとするとき二次曲線の一般式
    　　(1-e^2)x^2+y^2-2p(1+e^2)x+p^2(1-e^2)=0　･････(2)
    というのがありますが、これでは(1)が放物線であるかどうか判断できないと思うのですが。

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■50700 / ResNo.3) 　Re[3]: 放物線の標準形
□投稿者/ らすかる 一般人(28回)-(2021/04/05(Mon) 21:16:32)
    二次の項を因数分解すると(2x-y)^2となりますので、
    X=(2x-y)/√5, Y=(x+2y)/√5のようにおいて回転すると
    Xの項は2次、Yの項は1次となり、軸が2x-y=0に平行な
    放物線であることがわかります。
    下に書かれている「二次曲線の一般式」は、回転を含まない
    特定の場合の一般式なので、この問題では使えないと思います。
    また、回転してその「一般式」に合わせたいのであれば、軸がx軸に合うように
    x=(X-2Y)/√5, y=(2X+Y)/√5で逆方向に回転する必要があります。

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■50701 / ResNo.4) 　Re[4]: 放物線の標準形
□投稿者/ 星は昴 一般人(4回)-(2021/04/05(Mon) 21:33:27)
    ありがとうございました。なかなか難しいのですね。

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■50684 / 親記事) 　循環小数
□投稿者/ 混合 一般人(1回)-(2021/04/02(Fri) 11:00:49)
    nを自然数とすると
    1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)
    は混合循環小数であることを示せ。

    教えて下さい。
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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50690 / ResNo.1) 　Re[1]: 循環小数
□投稿者/ らすかる 一般人(24回)-(2021/04/03(Sat) 06:28:03)
    有理数のうち
    分母が2,5以外の素因数を持たない→有限小数
    分母が2,5以外の素因数を持つ→無限小数
    そして有理数の無限小数のうち
    分母が素因数2,5を含まない→純循環小数
    分母が素因数2,5を含む→混循環小数
    です。
    与式はn+1,n+2,n+3のうちどれか一つが3の倍数、
    また偶数も含むことから、
    「2,5以外の素因数3を含み、素因数2も含む」
    となりますので、混循環小数ということになります。

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■50696 / ResNo.2) 　Re[2]: 循環小数
□投稿者/ 混合 一般人(2回)-(2021/04/04(Sun) 13:47:14)
    とても分かりやすい説明ありがとうございました。
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