数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 8]

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約数(0) |

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tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する(2) |

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確率(1) |

1/{z^2(z-1)^2} z=0でローラン展開(1) |

速度(2) |

極限(0) |

質問(2) |

■52489 / 親記事)

　多項式の既約性

□投稿者/ みりん一般人(1回)-(2024/03/19(Tue) 18:36:49)

2024/03/19(Tue) 20:45:19 編集(投稿者)
2024/03/19(Tue) 20:45:13 編集(投稿者)

雪江代数2の演習問題1.12.3です。
以下の $2$C$ 上の2変数多項式環 $2$C[x,y]$ の元が既約であることを証明せよ。
(1) $2$x^2-xy+y^2-1$
(2) $2$x^3-x^2y+y^3+x^2-y$
(3) $2$x^3-x^2(y+2)+y(y+1)$
(4) $2$x^4+x^2y+x(y^2+1)+y^3$

自分の考えでは例えば(2)なら可約と仮定して具体的に $2$(x^2+ax+b)(x+c)$ などと表し、係数を比較して矛盾を導く方法を考えましたがいまいち自信がないので教えてもらいたいです。

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■52477 / 親記事)

　円錐台の断面積

□投稿者/ スフィンクス一般人(1回)-(2024/03/16(Sat) 11:38:38)

2024/03/16(Sat) 11:44:43 編集(投稿者)

　文字だけではわかりにくいと思うので
　ｈｔｔｐｓ：／／ｄ．ｋｕｋｕ．ｌｕ／ｔ５ｍ５ｍｐｂｐ
をご覧ください（urlはアップできないようなので半角にしてください）。
　元ネタはオイラーの運動方程式の演習問題ですが、わからないのは小学校から中学校レベルと思われる円錐台の断面積の比についてですので、こちらで質問させていただきます。

　底面の面積がA1、上面の面積がA2であるような円錐台を考えます。底面から上面までの高さをΔs、その間の任意の位置sにある断面積をAとします。
□□A1□□□□A□□□□□A2
□□｜─
□□｜□□□□┐
□□｜□□□□｜□□□□┐
□□｜□□□□｜□□□□｜
□□｜□□□□｜□□□□┘
□□｜□□□□┘
□□｜─
□□<----s---->
□□<---------Δs------->

　　A1=π(r1)^2　　A=πr^2　　A2=π(r2)^2
　　ΔA=A1-A2 =π(r1)^2 - π(r2)^2
としたとき、上記画像の説明では
　　A=A1-ΔA(s/Δs)……※
が成り立つと言っているわけですが、これ本当に成り立ちますか？
　半径については、Δr=r1-r2とおいて円錐の斜辺を一次関数で表せば
　　r=-(r1-r2)/Δs +r1
　　 =r1-Δr/Δs
となりますが、
　　r1=kr2⇒π(r1)^2=π(kr2)^2=k^2π(r2)^2　　(k>0)
を考えると、面積は比の２乗倍になるので※が成り立つとは思えないのですが。

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▽[全レス9件(ResNo.5-9 表示)]

■52482 / ResNo.5)

　Re[5]: 円錐台の断面積

□投稿者/ スフィンクス一般人(8回)-(2024/03/16(Sat) 14:17:40)

上の図の計算式です。アップ画像の限度を超えているので小さな画像しかアップできません。

380×322 => 250×211

1710566260.png/120KB

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■52484 / ResNo.6)

　Re[6]: 円錐台の断面積

□投稿者/ らすかる一般人(2回)-(2024/03/16(Sat) 17:11:55)

おっしゃる通り、
A=A1-ΔA(s/Δs)
は間違いだと思います。

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■52485 / ResNo.7)

　Re[1]: 円錐台の断面積

□投稿者/ WIZ 一般人(1回)-(2024/03/16(Sat) 18:32:01)

横から失礼します。

演習問題の解説と質問者さんの解答しかないので、演習問題の全貌が見えないです。
質問者さんはノズルの形を円錐台として、断面が円で半径が直線的(距離の1次関数)な変化をするとしていますが、
実は問題文を良く読むとそんなことは書いてなくて、断面は円ではないとか、
円であったとしても半径が曲線的(距離の平方根に比例)に変化するとか、
質問者さんが問題文の解釈を誤っている可能性はないですか?

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■52486 / ResNo.8)

　Re[2]: 円錐台の断面積

□投稿者/ スフィンクス一般人(9回)-(2024/03/16(Sat) 19:21:01)

> 実は問題文を良く読むとそんなことは書いてなくて、断面は円ではないとか、

　そのとおりでした(^O^)。
　ただ、この本は、私のように数学が苦手な者を対象にした初心者向けの流体力学の参考書（ベクトル解析的表現をほとんどしていない）ですので、ノズルが円形でないのなら
　A=A1-ΔA(s/Δs)
が成り立つようなノズルなのだということを、天下りに与えるべきだと思います。それさえ認めればアフォみたいに簡単な問題なのですから。
　でも助かりました。出版社に文句言おうと思ったくらいですから。

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■52487 / ResNo.9)

　Re[1]: 円錐台の断面積

□投稿者/ WIZ 一般人(2回)-(2024/03/16(Sat) 21:55:05)

数学とは無関係な独り言です。

本を読んで納得いかなかった点を質問したことは良い事だと思います。
聞くは一時のハジ、聞かぬは一生のハジと言いますからね。
# 漢字のハジは入力できないようなので。
でも、自分レベルだと思っていた本が、自分レベルじゃなかったと怒るのはお門違いかと。
折角、何かの縁で出会えて読むことになった本ですからね。

そして、自身が理解できなかったことが書かれていた本だから、自身の糧になるというもの。
私の学生時代の恩師が言っていたのですが、読んで大体理解できるような本なら、その本で勉強する必要はない。
内容が理解できない本だからこそ勉強する意味があるのだと。

失礼しました。

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■52473 / 親記事)

　相関係数と共分散

□投稿者/ robo 一般人(5回)-(2024/02/22(Thu) 08:25:39)

3つの試験科目の得点を標準化したものをそれぞれX1、X2、X3とする。
X1とX2の相関係数をρ12、X2とX3の相関係数をρ23、X3とX1の相関係数をρ31とする。
標準化しているので、V[X1]=V[X2}=V[X3}=1である。
XiとXjの相関係数は共分散と等しくなる。
cov[X1,(X1+X2+X3)/3]=(1+ρ12+ρ31)/3ですか？X1とX1/3の共分散は1/3ですか？

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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■52474 / ResNo.1)

　Re[1]: 相関係数と共分散

□投稿者/ ポテトフライ一般人(1回)-(2024/02/24(Sat) 19:17:01)

＞cov[X1,(X1+X2+X3)/3]=(1+ρ12+ρ31)/3ですか？
はい、そうです。
まずE[X_i]=0と期待値の線形性からE[(X_1+X_2+X_3)/3]=(E[X_1]+E[X_2]+E[X_3])/3=0
またX_iは標準化されているのでV[X_i]=E[(X_i-E[X_i])^2]=E[X_i^2]=1
さらにCov(X_i,X_j)=E[(X_i-E[X_i])*(X_j-E[X_j])]=E[X_i,X_j]
＞XiとXjの相関係数は共分散と等しくなる。
よって
Cov(X_1,(X_1+X_2+X_3)/3)
=E[(X_1-E[X_1])*( (X_1+X_2+X_3)/3-E[(X_1+X_2+X_3)/3])]
=E[X_1*(X_1+X_2+X_3)/3]
=(E[X_1^2]+E[X_1*X_2]+E[X_1*X_3])/3
=(V[X_1]+Cov(X_1,X_2)+Cov(X_1,X_3))/3
=(1+ρ_{12}+ρ_{13})/3

＞X1とX1/3の共分散は1/3ですか？
はい、そうです。
Cov（X_1、X_1/3）=E[X_1*(X_1/3)]=E[X_1^2]/3=V[X_1]/3=1/3

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■52468 / 親記事)

　logの計算

□投稿者/ robo 一般人(1回)-(2024/02/10(Sat) 23:32:18)

log((1+0.776)/(1-0.776))/2
の答えは1.035だそうです。
電卓で計算すると、約0.45になるのですが、何が間違っているのでしょうか？

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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■52469 / ResNo.1)

　Re[1]: logの計算

□投稿者/ WIZ 一般人(22回)-(2024/02/10(Sat) 23:53:29)

2024/02/11(Sun) 09:37:54 編集(投稿者)

常用対数(底が10)だと0.4495･･･
自然対数(底がe ≒ 2.718281828･･･)だと1.0352･･･
となります。

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■52470 / ResNo.2)

　Re[1]: logの計算

□投稿者/ らすかる一般人(1回)-(2024/02/11(Sun) 00:02:16)

電卓のlogは普通常用対数ですから、「log」の代わりに「ln」を使いましょう。

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■52471 / ResNo.3)

　Re[1]: logの計算

□投稿者/ robo 一般人(3回)-(2024/02/11(Sun) 00:42:15)

ありがとうございました。

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■52463 / 親記事)

　tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する

□投稿者/ スフィンクス一般人(1回)-(2024/02/06(Tue) 00:21:31)

tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開するときの係数 c_1 を求める。

c_1
= lim[z→π/2] (d/dz)^2 { (z - π/2) tan(z) }/(2！)
= lim[z→π/2] (d/dz) { tan(z) + (z - π/2)/(cos(z))^2 }/2
= lim[z→π/2] { 2/(cos(z))^2 + (z - π/2)(2 sin(z))/(cos(z))^3 }/2
= lim[z→π/2] { (cos(z)) + (z - π/2)(sin(z)) }/(cos(z))^3
= lim[z→π/2] { (d/dz) { (cos(z)) + (z - π/2)(sin(z)) } }/{ (d/dz) (cos(z))^3 }
= lim[z→π/2] { (z - π/2)(cos(z)) }/{ 3 (cos(z))^2 (- sin(z)) }　…… (A)
= lim[z→π/2] (-1/3)(1/sin(z))/{ (cos(z) - 0)/(z - π/2) }　　　 …… (B)
= (-1/3)(1/1)/{ -1 }
= 1/3.

　A)から(B)の変形をもう少し詳しく教えてください。また、(B)の分母
　　(cos(z) - 0)/(z - π/2)
がz→π/2で-1になるのもよくわかりません。

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■52464 / ResNo.1)

　Re[1]: tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する

□投稿者/ WIZ 一般人(21回)-(2024/02/06(Tue) 08:16:21)

計算の部分だけ
> { (z - π/2)(cos(z)) }/{ 3 (cos(z))^2 (- sin(z)) }　…… (A)
⇒ (-1/3)(1/sin(z)){(z-π/2)/cos(z)}
⇒ (-1/3)(1/sin(z))/{cos(z)/(z-π/2)}
> (-1/3)(1/sin(z))/{ (cos(z) - 0)/(z - π/2) }　　　 …… (B)

# あえて{(z-π/2)/cos(z)}を1/{(z-π/2)/cos(z)}変形する必要はないと思うけど
# 模範解答(?)がそうなっているのなら仕方ない。

cos(π/2) = 0だから、
lim[z→π/2](cos(z)-0)/(z-π/2)
= lim[z→π/2](cos(z)-cos(π/2))/(z-π/2)
= cos'(π/2)
= -sin(π/2)
= -1

或いはz→π/2で、(cos(z)-0)→0かつ(z-π/2)→0だから、ロピタルの定理より
lim[z→π/2](cos(z)-0)/(z-π/2)
= lim[z→π/2](-sin(z))/1
= -1

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■52465 / ResNo.2)

　Re[2]: tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する

□投稿者/ スフィンクス一般人(2回)-(2024/02/06(Tue) 16:11:31)

丁寧な回答まことにありがとうございました。

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