数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 12]

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高校数学期待値の問題です(2) |

二項係数(1) |

フェルマーの最終定理の普通の証明(10) |

高校数学レベルの定積分(2) |

場合の数 (カタラン数に関係したもの)(2) |

ζ関数(0) |

G(0) |

岩波講座基礎数学集合の補題6.1についての質問(1) |

羅生門(0) |

確率(2) |

約数の個数(5) |

52545の「約数の個数」の式変形について(4) |

体(3) |

約数(0) |

素数(2) |

tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する(2) |

複素数平面(1) |

複素数証明（難）(0) |

確率の問題が分かりません　助けてください(1) |

極限(3) |

確率(2) |

初等数学によるフェルマーの最終定理の証明(5) |

中学数学によるフェルマーの最終定理の証明(1) |

確率(1) |

1/{z^2(z-1)^2} z=0でローラン展開(1) |

速度(2) |

極限(0) |

質問(2) |

■52414 / 親記事)

　確率

□投稿者/ Z 一般人(1回)-(2023/12/28(Thu) 16:17:22)

2個のサイコロX,Yをn回投げる。
k回目に出たX,Yの目をx[k],y[k]とする。
x[1]y[1]+x[2]y[2]+…+x[n]y[n]
が3の倍数になる確率を求めよ。

教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■52417 / ResNo.1)

　Re[1]: 確率

□投稿者/ WIZ 一般人(12回)-(2023/12/28(Thu) 21:22:46)

2023/12/28(Thu) 22:48:19 編集(投稿者)

a[k] = Σ[j=1,k]{x[j]y[j]}とおきます。

k回目でa[k]の値が、3の倍数になる確率をp[k]、
3で割った余りが1になる確率をq[k]、
3で割った余りが2になる確率をr[k]とします。

k = 1のとき、(x[1], y[1])の組み合わせは全部で6*6 = 36通りです。

(1, 1)(1, 4)(2, 2)(2, 5)(4, 1)(4, 4)(5, 2)(5, 5)の8通りで
x[1]y[1] ≡ 1 (mod 3)なので、q[1] = 8/36 = 2/9です。

(1, 2)(1, 5)(2, 1)(2, 4)(4, 2)(4, 5)(5, 1)(5, 4)の8通りで
x[1]y[1] ≡ 2 (mod 3)なので、r[1] = 8/36 = 2/9です。

残りの20通りはx[1]またはy[1]が3の倍数なので、p[1] = 20/36 = 5/9です。

k > 1のとき、
a[k-1] ≡ 0 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 0 (mod 3)または、
a[k-1] ≡ 1 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 2 (mod 3)または、
a[k-1] ≡ 2 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 1 (mod 3)なら、
a[k] ≡ 0 (mod 3)なので、
p[k] = (5/9)p[k-1]+(2/9)q[k-1]+(2/9)r[k-1]・・・(1)
となります。

a[k-1] ≡ 0 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 1 (mod 3)または、
a[k-1] ≡ 1 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 0 (mod 3)または、
a[k-1] ≡ 2 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 2 (mod 3)なら、
a[k] ≡ 1 (mod 3)なので、
q[k] = (2/9)p[k-1]+(5/9)q[k-1]+(2/9)r[k-1]・・・(2)
となります。

a[k-1] ≡ 0 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 2 (mod 3)または、
a[k-1] ≡ 1 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 1 (mod 3)または、
a[k-1] ≡ 2 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 0 (mod 3)なら、
a[k] ≡ 2 (mod 3)なので、
r[k] = (2/9)p[k-1]+(2/9)q[k-1]+(5/9)r[k-1]・・・(3)
となります。

(2)-(3)より、
q[k]-r[k] = (3/9)q[k-1]-(3/9)r[k-1]
⇒ q[k]-r[k] = ((3/9)^(k-1))(q[1]-r[1]) = 0
⇒ q[k] = r[k]・・・(4)

(4)→(1)より、
p[k] = (5/9)p[k-1]+(4/9)q[k-1]
⇒ q[k-1] = (9/4)p[k]-(5/4)p[k-1]・・・(5)

(4)(5)→(2)より、
(9/4)p[k+1]-(5/4)p[k] = (2/9)p[k-1]+(7/9)((9/4)p[k]-(5/4)p[k-1])
⇒ (9/4)p[k+1]-(12/4)p[k]-(3/4)p[k-1] = 0
⇒ 3p[k+1]-p[k] = 3p[k]-p[k-1]・・・(6)

(1)より、
p[2] = (5/9)p[1]+(2/9)q[1]+(2/9)r[1] = 11/27・・・(7)

(6)(7)より、
3p[k+1]-p[k] = 3p[2]-p[1] = 2/3
⇒ 3p[k+1]-1 = p[k]-1/3
⇒ p[k]-1/3 = ((1/3)^(k-1))(p[1]-1/3) = 2/(3^(k+1))
⇒ p[k] = 1/3+2/(3^(k+1))

上記はk = 1でも成り立ちます。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52436 / ResNo.2)

　Re[2]: 確率

□投稿者/ Z 一般人(2回)-(2024/01/02(Tue) 15:24:17)

詳しくありがとうございます。

解決済み!

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52431 / 親記事)

　囲まれた面積

□投稿者/ あけお一般人(1回)-(2024/01/01(Mon) 10:13:00)

60y(y-1)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
x=4
x=0
で囲まれた部分の面積と4はどちらが大きいのですか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■52433 / ResNo.1)

　Re[1]: 囲まれた面積

□投稿者/ らすかる一般人(3回)-(2024/01/01(Mon) 11:05:39)

4の方が大きいです。
60y(y-1)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
はy=1/2に関して対称であり、y≧1/2の部分の式はyについて解いて
y={30+√(900+60x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))}/60
よってこれとy=1/2とx=0とx=4で囲まれた部分の面積が2より小さいことを示せばよい。
y={30+√(900+60x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))}/60
をx=2に関して対称に移動すると（xを4-xに置き換えて整理）
y={30+√(900-60x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))}/60
なので
y={30+√(900+60x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))}/60
+{30+√(900-60x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))}/60
とy=1とx=0とx=4で囲まれた部分の面積が4より小さいことを示せばよい。
y={30+√(900+60x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))}/60
+{30+√(900-60x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))}/60
を整理すると
y=1+√{450+30√{225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2}}/30 … (1)
(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2≧0（等号はx=0,1,2,3,4のとき）
なので
225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2≦225（等号はx=0,1,2,3,4のとき）
√{225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2}≦15（等号はx=0,1,2,3,4のとき）
30√{225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2}≦450（等号はx=0,1,2,3,4のとき）
450+30√{225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2}≦900（等号はx=0,1,2,3,4のとき）
√{450+30√{225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2}}≦30（等号はx=0,1,2,3,4のとき）
√{450+30√{225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2}}/30≦1（等号はx=0,1,2,3,4のとき）
1+√{450+30√{225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2}}/30≦2（等号はx=0,1,2,3,4のとき）
よって(1)はx=0,1,2,3,4のときy=2、0＜x＜4かつx≠1,2,3のとき1＜y＜2
なので、この曲線とy=1とx=0とx=4で囲まれた部分の面積は4より小さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52435 / ResNo.2)

　Re[2]: 囲まれた面積

□投稿者/ あけお一般人(2回)-(2024/01/01(Mon) 17:53:51)

ありがとうございます！！

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■52416 / 親記事)

　複素数

□投稿者/ はんなり一般人(1回)-(2023/12/28(Thu) 17:21:29)

α=e^(2πi/11)とし、複素数平面上の点A[k](α^k)(k=0,1,2,3,4,5)を考える。
直線A[0]A[k](k=1,2,3,4,5)と原点O(0)の距離をd[k]とするとき、
d[1]-d[2]+d[3]-d[4]+d[5]を求めよ。

教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■52419 / ResNo.1)

　Re[1]: 複素数

□投稿者/ X 一般人(4回)-(2023/12/29(Fri) 20:07:45)

2023/12/29(Fri) 20:23:31 編集(投稿者)

条件から
d[k]=|(1+α^k)/2|
∴例えばzの共役複素数を\zと表すことにすると
d[k]^2={(1+α^k)/2}{1+\(α^k)}/2
=(1/4){1+α^k+\(α^k)+|α^k|^2}
=(1/4){2+α^k+\(α^k)}
更にθ=2π/11と置くと
d[k]^2=(1/4)(2+2coskθ)
={cos(kθ/2)}^2
ここでk=1,2,3,4,5より
kθ/2＜π/2
∴d[k]=cos(kθ/2)
となるので
e^(iθ/2)=β
と置くと
β^11=-1
d[k]=(β^k+1/β^k)/2
よって
d[1]-d[2]+d[3]-d[4]+d[5]=Σ[k=1～5]{(β^k+1/β^k)/2}(-1)^(k-1)
=(1/2)Σ[k=1～5]{β(-β)^(k-1)+(1/β)(-1/β)^(k-1)}
=(1/2){β{1-(-β)^5}/(1+β)+(1/β){1-(-1/β)^5}/(1+1/β)}
=(1/2){β(1+β^5)/(1+β)+(1/β^5)(1+β^5)/(1+β)}
=(1/2)(1+β^5)(β+1/β^5)/(1+β)
=(1/2)(1+β^5)(1+β^6)/{(1+β)β^5}
=(1/2)(1+β^5+β^6+β^11)/{(1+β)β^5}
=(1/2)(1+β^5+β^6-1)/{(1+β)β^5}
=(1/2)(β^5+β^6)/{(1+β)β^5}
=1/2

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52434 / ResNo.2)

　Re[2]: 複素数

□投稿者/ はんなり一般人(2回)-(2024/01/01(Mon) 14:13:55)

ありがとうございました！

解決済み!

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■52424 / 親記事)

　微分可能な点を求める問題

□投稿者/ むぎ一般人(5回)-(2023/12/30(Sat) 17:11:19)

この問題の解法を教えていただきたいです。微分可能かの問題です

2075×790 => 250×95

S__137854992_0.jpg/142KB

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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■52430 / ResNo.1)

　Re[1]: 微分可能な点を求める問題

□投稿者/ WIZ 一般人(16回)-(2023/12/31(Sun) 00:44:44)

Qは有理数体、Rは実数体と解釈して回答します。
バックスラッシュは環境依存文字らしいので、差集合はR-Qと表記します。

関数f(x)の定義は
x ∈ Qならば、f(x) = (x-2)^2
x ∈ R-Qならば、f(x) = 0
となります。

微分可能である点は連続でなければなりません。

x = aでf(x)が連続であるためには、
∀ε > 0, ∃δ > 0 s.t. (|x-a| < δ) ⇒ (|f(x)-f(a)| < ε)
が成立しなければなりません。

しかし、a ∈ Qかつa ≠ 2で、f(a) = (a-2)^2 > εとなるεに対して、
x ∈ R-Qのときはδの値に関わらず、|f(x)-f(a)| = |f(a)| ≧ εとなり、
x ≠ 2でf(x)は連続ではなく微分可能でもないと言えます。

a = 2のときは、x ∈ R-Qのときはεとδの値に関わらず、
|f(x)-f(a)| = 0 < εとなります。
x ∈ Qのときは、|f(x)-f(a)| = (x-2)^2 = |x-2|^2 < εとする為に、
δ < √εと取れば良いです。
よって、x = 2でf(x)は連続と言えます。

微分可能性は、x = aでf'(a)が存在すると仮定すると、
∀ε > 0, ∃δ > 0 s.t. (|x-a| < δ) ⇒ (|(f(x)-f(a))/(x-a)-f'(a)| < ε)
が成立しなければなりません。

a = 2の場合、f'(2)が存在すると仮定すると、
f'(2) = lim[h→0]{(f(2+h)-f(2))/h}
h ∈ Qならば、lim[h→0]{(h^2)/h} = 0
h ∈ R-Qならば、lim[h→0]{0/h} = 0
となり、f'(2) = 0であることが必要です。

f'(2) = 0と仮定します。
x ∈ R-Qのときはδの値に関わらず、|f(x)-f(2)| = 0ですので、
|(f(x)-f(2))/(x-2)-f'(2)| = 0 < εが成り立ちます。
x ∈ Qのときは、|f(x)-f(a)| = |x-2|^2より、
|(f(x)-f(2))/(x-2)-f'(2)| = |x-2| < εより、δ < εと取れば良いです。
よって、x = 2でf(x)は微分可能と言えます。

# トマエ関数で検索すると参考になる情報が見られます。

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■52327 / 親記事)

　初等数学によるフェルマーの最終定理の証明

□投稿者/ きつね一般人(1回)-(2023/09/21(Thu) 19:47:05)

nが奇素数のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
x^n+y^n=z^nをy^n=(x+m)^n-x^n…(1)と変形する。yは整数,mは有理数とする。
2^n=(t+1)^n-t^nのtが有理数のとき、右辺は偶数とならない。よって、tは無理数。
(1)は(2^n)k=[{(t+1)^n}k+u]-{(t^n)k+u}…(2)となる。k=(y/2)^n,uは無理数。
u=L^n-{(t+1)^n}k,u=M^n-(t^n)kのとき、(2)はy^n=L^n-M^nとなる。L,Mは有理数。
y^n=L^n-M^nが成立するならば、2^n=(L^n)/k-(M^n)/kも成立する。
2^n=(t+1)^n-t^nのtは無理数なので、2^n=(L^n)/k-(M^n)/kは成立しない。
∴nが奇素数のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。

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▽[全レス5件(ResNo.1-5 表示)]

■52328 / ResNo.1)

　Re[1]: 初等数学によるフェルマーの最終定理の証明

□投稿者/ 西船橋ときめき学園一般人(1回)-(2023/09/21(Thu) 23:08:06)

この掲示板がまた荒れるかもしれないので

ｈｔｔｐｓ：／／ｒｉｏ２０１６．５ｃｈ．ｎｅｔ／ｔｅｓｔ／ｒｅａｄ．ｃｇｉ／ｍａｔｈ／１６９４３３１７０４／ｌ５０

でやってくれ。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52349 / ResNo.2)

　Re[2]: 初等数学によるフェルマーの最終定理の証明

□投稿者/ きつね一般人(2回)-(2023/10/08(Sun) 10:24:21)

nが奇素数のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
x^n+y^n=z^nをy^n=(x+m)^n-x^n…(1)と変形する。yは整数,x,mは有理数と仮定する。
2^n=(t+1)^n-t^n…(2)はtが有理数のとき、成立しない。
(1)は(2^n)k=[{(t+1)^n}k+u]-{(t^n)k+u}…(3)となる。k=(y/2)^n,uは実数。
u-u=0なので、(2^n)k={(t+1)^n}k-(t^n)k…(4)を考える。
(4)はtが有理数のとき、成立しないので、(3),(1)も成立しない。
∴nが奇素数のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52350 / ResNo.3)

　Re[3]: 初等数学によるフェルマーの最終定理の証明

□投稿者/ 西船橋ときめき学園一般人(2回)-(2023/10/09(Mon) 19:31:55)

　漫才ネタは

ｈｔｔｐｓ：／／ｒｉｏ２０１６．５ｃｈ．ｎｅｔ／ｔｅｓｔ／ｒｅａｄ．ｃｇｉ／ｍａｔｈ／１６９６３０３０８５／ｌ５０

でやれ。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52411 / ResNo.4)

　Re[4]: 初等数学によるフェルマーの最終定理の証明

□投稿者/ きつね一般人(1回)-(2023/12/16(Sat) 21:37:56)

n>2のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
x^n+y^n=z^nを変形してy^n=(x+m)^n-x^n…(1)とする。y,mは整数とする。
3^n=(t+1)^n-t^n…(2)はtが有理数のとき成立しない。
(1)は(3^n)k=[{(t+1)^n}k+u]-{(t^n)k+u}…(3)となる。k=(y/3)^n,uは無理数。
(2)が成立しないので、(3^n)k={(t+1)^n}k-(t^n)k及び(3)も成立しない。
∴n>2のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52429 / ResNo.5)

　Re[5]: 初等数学によるフェルマーの最終定理の証明

□投稿者/ きつね一般人(2回)-(2023/12/30(Sat) 20:24:18)

n>2のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
x^n+y^n=z^nを変形してy^n=(x+m)^n-x^n…(1)とする。y,mは整数とする。
3^n=(t+1)^n-t^n…(1')は有理数解を持たない。
(1)は(3^n)k=[{(t+1)^n}k+u]-{(t^n)k+u}…(2)となる。k=(y/3)^n,uは無理数。
(3^n)k={(t+1)^n}k-(t^n)kは有理数解を持たないので(2)も有理数解を持たない。
∴n>2のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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