数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 3]

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レス数

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高校数学期待値の問題です(2) |

二項係数(1) |

フェルマーの最終定理の普通の証明(10) |

高校数学レベルの定積分(2) |

場合の数 (カタラン数に関係したもの)(2) |

ζ関数(0) |

G(0) |

岩波講座基礎数学集合の補題6.1についての質問(1) |

羅生門(0) |

確率(2) |

約数の個数(5) |

52545の「約数の個数」の式変形について(4) |

体(3) |

約数(0) |

素数(2) |

tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する(2) |

複素数平面(1) |

複素数証明（難）(0) |

確率の問題が分かりません　助けてください(1) |

極限(3) |

確率(2) |

初等数学によるフェルマーの最終定理の証明(5) |

中学数学によるフェルマーの最終定理の証明(1) |

確率(1) |

1/{z^2(z-1)^2} z=0でローラン展開(1) |

速度(2) |

極限(0) |

質問(2) |

■52566 / 親記事)

　平方数

□投稿者/ 孫子一般人(1回)-(2024/07/10(Wed) 12:30:22)

自然数nで3^n-2^n-1が平方数となるものをすべて求めたいのでお願いします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■52569 / ResNo.1)

　Re[1]: 平方数

□投稿者/ muturajcp 一般人(2回)-(2024/07/14(Sun) 17:05:55)

3^n-2^n-1
n=1のとき
3^1-2^1-1=3-2-1=0は平方数
n=2のとき
3^2-2^2-1=9-4-1=4は平方数
n=4のとき
3^4-2^4-1=81-16-1=64は平方数

nが3以上の奇数のとき
n=2k+1となる自然数kがある
3^(2k+1)=3(9^k)=3(8+1)^k=3(mod4)
2^(2k+1)=2(4^k)=0(mod4)
3^(2k+1)-2^(2k+1)-1=2(mod4)
3^(2k+1)-2^(2k+1)-1=4m+2=2(2m+1)
となる整数mがあるから
3^(2k+1)-2^(2k+1)-1=2(2m+1)は平方数ではない

nが6以上の偶数のとき
n=2kとなる自然数kがある
3^(2k)-2^(2k)-1
が平方数であると仮定すると
3^(2k)-2^(2k)-1=x^2
となる整数xがある
3^(2k)-2^(2k)=1+x^2
(3^k+2^k)(3^k-2^k)=1+x^2
右辺1+x^2は実数の範囲で分解できない既約多項式
3^k+2^k>3^k-2^k>0だから
3^k-2^k=1でなければならないから
k=1
n=2となってn≧6に矛盾するから
3^(2k)-2^(2k)-1
は平方数ではないから

n=1
n=2
n=4

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52570 / ResNo.2)

　Re[1]: 平方数

□投稿者/ muturajcp 一般人(3回)-(2024/07/14(Sun) 19:11:26)

訂正です

3^n-2^n-1
n=1のとき
3^1-2^1-1=3-2-1=0
n=2のとき
3^2-2^2-1=9-4-1=4
n=4のとき
3^4-2^4-1=81-16-1=64

nが3以上の奇数のとき
n=2k+1となる自然数kがある
3^(2k+1)=3(9^k)=3(8+1)^k=3(mod4)
2^(2k+1)=2(4^k)=0(mod4)
3^(2k+1)-2^(2k+1)-1=2(mod4)
3^(2k+1)-2^(2k+1)-1=4m+2=2(2m+1)
となる整数mがあるから
3^(2k+1)-2^(2k+1)-1=2(2m+1)は平方数ではない

n=2(2k+1)となる自然数kがあるとき
3^{2(2k+1)}=9^(2k+1)=9(81^k)=9(16*5+1)^k=9(mod16)
2^{2(2k+1)}=4^(2k+1)=4(16^k)=0(mod16)
3^{2(2k+1)}-2^{2(2k+1)}-1=8(mod16)
3^{2(2k+1)}-2^{2(2k+1)}-1=16m+8=8(2m+1)
となる整数mがあるから
3^{2(2k+1)}-2^{2(2k+1)}-1=8(2m+1)は平方数ではない

n=4(2k+1)となる自然数kがあるとき
3^{4(2k+1)}=81^(2k+1)=81(6561)^k=(32*2+17)(205*32+1)^k=17{mod(32)}
2^{4(2k+1)}=16^(2k+1)=16(256)^k=0{mod(32)}
3^{4(2k+1)}-2^{4(2k+1)}-1=16(mod32)
3^{4(2k+1)}-2^{4(2k+1)}-1=(3^{2(2k+1)}+2^{2(2k+1)})(3^{2(2k+1)}-2^{2(2k+1)})-1≧3^6+2^6-1>16
3^{4(2k+1)}-2^{4(2k+1)}-1=32m+16=16(2m+1)
となる自然数mがあるから
3^{4(2k+1)}-2^{4(2k+1)}-1=16(2m+1)は平方数ではない

n=(2^j)(2k+1),j≧3,k≧0となる自然数jと整数kがあるとき

3^{(2^j)(2k+1)}=(3^{2^j})^(2k+1)=(3^{2^j})(9^{2^j})^k=1+2^(j+2){mod(2^(j+3))}
2^{(2^j)(2k+1)}=(2^{2^j})^(2k+1)=(2^{2^j})(4^{2^j})^k=0{mod(2^{j+3})}
3^{(2^j)(2k+1)}-2^{(2^j)(2k+1)}-1=2^(j+2){mod(2^{j+3})}
3^{(2^j)(2k+1)}-2^{(2^j)(2k+1)}-1=(2m+1)2^{j+2}
となる自然数mがあるから
3^{(2^j)(2k+1)}-2^{(2^j)(2k+1)}-1=(2m+1)2^{j+2}は平方数ではない

n=1
n=2
n=4

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52582 / ResNo.3)

　Re[2]: 平方数

□投稿者/ 孫子一般人(3回)-(2024/07/21(Sun) 16:45:11)

ありがとうございました。
とても参考になりました。

解決済み!

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52580 / 親記事)

　形式的べき級数

□投稿者/ チャウヌ一般人(1回)-(2024/07/19(Fri) 09:06:41)

実数係数の形式的べき級数
(Σ[n=1→∞]c[n]t^n)(Σ[n=1→∞](t/2)^n)=Σ[n=2→∞]C[n]t^n
においてlim[n→∞]c[n]=c(収束)であるとき
lim[n→∞]C[n]の求め方を教えてください。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52579 / 親記事)

□投稿者/ ホイホイ一般人(1回)-(2024/07/19(Fri) 08:05:48)

我が家の新築の豪邸に早速ゴキブリが出ました。ちょうどエクササイズ中だったので、フラフープをぶん投げました。
はなれたところから観察していると、ゴキブリは床に落ちたフラフープの上を激しく反時計回りに等速円運動しています。
ペットがおり殺虫スプレーが使えないので、フラフープめがけゴキブリが嫌がる香りのアロマオイルを一滴ブッかけようと思います。
はなれたところからアロマオイル一滴をブッかけるので、狙うことはできません。フラフープの周上の一点に無作為にアロマオイルが付着します。
ゴキブリはアロマオイルの付着した箇所から勢いを維持したままその箇所におけるフラフープの接線を直進し壁まで逃げるものと予想されます。
そこで、あらかじめ壁に粘着テープを貼っておき、逃げてきたゴキブリを捕獲しようと思うのですが、ゴキブリを捕獲する確率を最も高めるには、粘着テープをどこに貼ればよいでしょうか？

なるべく正確に粘着テープを貼る位置を知りたいので、
フラフープをx^2+y^2=1、壁をx=a(≧1)、粘着テープの長さをd(>0)
として回答していただいてもかまいません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52576 / 親記事)

　岩波講座基礎数学集合の補題6.1についての質問

□投稿者/ 数学教えてマン一般人(1回)-(2024/07/17(Wed) 15:21:31)

岩波講座基礎数学集合p117の補題6.1の証明について理解できない部分があります．補題とその証明は次のような流れになっています．

補題6.1
$2$\alpha$ を順序数， $2$s\subset\alpha$ とし， $2$s$ を整列集合と考える．ここで $2$\beta=\text{ord}\;s$ とすれば $2$\beta\subset\alpha$ .

証明
$2$f:s\rightarrow\beta$ を $2$s$ から $2$\beta$ の上への順序同型写像とする． $2$s=\phi$ のときは明らかなので， $2$s\neq\phi$ の場合を考える． $2$s$ の元 $2$x$ ， $2$\beta$ の元 $2$f(x)$ はともに順序数と考えられるから， $2$f(x)\subset x$ もしくは $2$x\subset f(x)$ が成り立つ．もし $2$f(x)\subset x$ が任意の $2$x\in s$ について成り立つなら， $2$f[s]\subset s$ であるから $2$\beta=f[s]\subset s\subset \alpha$ より成立．いま $2$c=\lbrace x\in s|x \subsetneq f(x) \rbrace$ とし矛盾を導く． $2$x_0=\min c$ とおくと， $2$x\subsetneq x_0$ なる $2$s$ の元 $2$x$ に対しては $2$f(x)\subset x\subsetneq x_0$ ， $2$x_0\subset x$ なる $2$s$ の元 $2$x$ に対しては $2$f$ が順序を保つから $2$x_0\subsetneq f(x_0)\subset f(x)$ となり， $2$x_0 \notin f[s]$ となる．一方 $2$x_0\in f(x_0)$ ， $2$f(x_0)\in\beta$ なので $2$x_0\in\beta$ となり矛盾．

ここでわからないのは $2$x_0\notin f[s]$ となることです。 $2$f[s]= \bigcup_{x \in s} f(x)$ なので、 $2$x_0\subsetneq f(x_0)\subset f(x)$ から、 $2$x_0\in f[s]$ だと思ったのですが、私のどの段階で誤解が生じているのでしょうか？

なおプレビューが正常にできていないと思いますが，「a [\subsetneq] b」は「aはbの真部分集合」を意味します．

教えていただけると幸いです。

よろしくお願いします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]

■52577 / ResNo.1)

　Re[1]: 岩波講座基礎数学集合の補題6.1についての質問

□投稿者/ 数学教えてマン一般人(2回)-(2024/07/17(Wed) 16:03:35)

解決しました

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52574 / 親記事)

　羅生門

□投稿者/ 茶川龍之介一般人(1回)-(2024/07/15(Mon) 08:57:41)

仕事をクビになり会社の門で憔悴していたらババアがいきなり話しかけてきました。

「この大きい袋に7で割り切れない自然数がたくさん入っている。無作為にひとつ引いてこっちの小さい袋に入れろ。引いた自然数は見てはいけない。
　小さい袋には不思議な力があり、入れた自然数のすべての正の約数がひとつずつ中に現れるので、無作為にひとつ引け。引いた約数はまだ見てはいけない。
　その約数を7で割った余りが1,2,4のどれかであるか3,5,6のどれかであるか賭けろ。
　引いた約数を確認して賭けたほうに一致していたら一生遊んで暮らせるだけの金をくれてやる。
　一致していなければ熱湯で鼻を茹でるぞ」

…と。

私は1,2,4か3,5,6のどちらに賭けたらいいのでしょうか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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