数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 3]

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レス数

記事リスト ( )内の数字はレス数

積分(0) |

確率(3) |

52545の「約数の個数」の式変形について(5) |

約数の個数(6) |

羅生門(1) |

高校数学確率の問題です。(2) |

(x^x)^x = x^(x^2)(4) |

数字が重複しない積(1) |

自然数(2) |

余り(2) |

klog(1+1/k) < 1を証明する(2) |

約数(1) |

n乗根(1) |

lim[θ→0](θ/sinθ)(2) |

常微分方程式の基本的な質問(2) |

単位円と正三角形(2) |

証明微積(0) |

台形(1) |

設問ミスですか？それとも解けますか？(1) |

ζ関数(1) |

フェルマーの最終定理の普通の証明(10) |

高校数学レベルの定積分(2) |

場合の数 (カタラン数に関係したもの)(2) |

G(0) |

岩波講座基礎数学集合の補題6.1についての質問(1) |

確率(2) |

体(3) |

素数(2) |

tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する(2) |

複素数平面(1) |

複素数証明（難）(0) |

確率の問題が分かりません　助けてください(1) |

極限(3) |

確率(2) |

初等数学によるフェルマーの最終定理の証明(5) |

■52785 / 親記事)

　自然数

□投稿者/ サウジアラビア一般人(1回)-(2025/03/25(Tue) 20:00:32)

24以下の自然数からどのように異なる7個を選んでも
その7個の中には
a+b=c+d, a≦b, c≦d, a≠c
の解があるのでしょうか？

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■52787 / ResNo.1)

　Re[1]: 自然数

□投稿者/ らすかる一般人(8回)-(2025/03/26(Wed) 04:34:13)

異なる7個から異なる4個をとってa,b,c,dにするなら、
1,2,3,5,8,13,21を選べば条件を満たす解はないと思いますが、
a=bまたはc=dがOKなら必ず解はあるようです。
これは「24以下」を「25以下」にしても同じで、
「26以下」にした場合は例えば
1,2,5,11,19,24,26
のように選べば解がなくなります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52789 / ResNo.2)

　Re[2]: 自然数

□投稿者/ サウジアラビア一般人(2回)-(2025/03/27(Thu) 09:44:26)

ありがとうございます。
大変参考になりました。

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■52758 / 親記事)

　余り

□投稿者/ リトアニア一般人(1回)-(2025/03/17(Mon) 09:49:15)

整数a,bは(1+2√(-3))^25=a+b√(-3)を満たすものとします。
aとbを5で割った余りを手計算で求められますか？

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■52774 / ResNo.1)

　Re[1]: 余り

□投稿者/ muturajcp 一般人(13回)-(2025/03/18(Tue) 20:19:26)

(1+2√(-3))^2=-1-√(-3)(mod5)
(1+2√(-3))^3=2√(-3)(mod5)
(1+2√(-3))^6=-2(mod5)

a+b√(-3)
=(1+2√(-3))^(25)
={(1+2√-3)^6}^4(1+2√(-3))
=(-2)^4(1+2√(-3))
=1+2√(-3)(mod5)

aを5で割った余りは1
bを5で割った余りは2

594×536 => 250×225

m2025031709.jpg/38KB

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■52784 / ResNo.2)

　Re[2]: 余り

□投稿者/ リトアニア一般人(2回)-(2025/03/20(Thu) 07:55:06)

すごい…！
ありがとうございました。

解決済み!

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■52772 / 親記事)

　klog(1+1/k) < 1を証明する

□投稿者/ 星は昴一般人(3回)-(2025/03/18(Tue) 17:49:52)

　kを自然数とするとき

　　klog(1+1/k) < 1 ……※

を証明する。

　　(1+1/k) > 1
　　log(1+1/k) > log(1) = 0
　　klog(1+1/k) > 0

　ここまではわかるのですが※がどうしてもわかりません。

具体的に計算すると

　　1*log(1+1/1)≒0.693147180559945
　　2*log(1+1/2)≒0.810930216216329
　　3*log(1+1/3)≒0.863046217355343
　　100*log(1+1/100)≒0.995033085316808
　　1000*log(1+1/1000)≒0.999500333083533

なので※が成り立つのは間違いなさそうですが・・・

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■52773 / ResNo.1)

　Re[1]: klog(1+1/k) < 1を証明する

□投稿者/ らすかる一般人(6回)-(2025/03/18(Tue) 18:20:10)

x＞0に対して
f(x)=log(1+1/x)-1/x
とおくと
f'(x)=1/(x^3+x^2)＞0
であり
lim[x→∞]f(x)=0
なので
f(x)＜0
よって
log(1+1/x)-1/x＜0
log(1+1/x)＜1/x
xlog(1+1/x)＜1
従ってkが自然数ならば
klog(1+1/k)＜1

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■52775 / ResNo.2)

　Re[2]: klog(1+1/k) < 1を証明する

□投稿者/ 星は昴一般人(4回)-(2025/03/18(Tue) 20:27:16)

　ありがとうございました。導関数の計算に戸惑っていました（笑）。

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■52701 / 親記事)

　積分の極限

□投稿者/ 東大志望一般人(1回)-(2025/03/03(Mon) 20:31:16)

$2$ \large \lim_{n \to \infty} \, n \, {\displaystyle\int_1}^{\sqrt{3}} \log \left( \frac{1+\sqrt[n]{x^3+x}}{2} \right) \, dx$

の求め方を教えてください！

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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■52710 / ResNo.1)

　Re[1]: 積分の極限

□投稿者/ らすかる一般人(5回)-(2025/03/09(Sun) 03:07:18)

((3√3)(4log2+log3)-18(√3-1)-6log2+π)/12 = 0.4934287954669775…
という値になるようですが、計算方法はわかりません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52756 / ResNo.2)

　Re[1]: 積分の極限

□投稿者/ X 一般人(1回)-(2025/03/16(Sun) 14:05:49)

横から失礼します。

与式の被積分関数である
nlog{{1+(x^3+x)}/2} (A)
が積分区間である
x:1→√3
で一様収束するのであれば、
lim[n→∞]
を積分の中に入れることができますので
ゴリゴリ極限を計算することで
(与式)=(1/2)∫[x:1→√3]log(x^3+x)dx

この積分を計算することで
らすかるさんが提示された解答になります。
(log(x^3+x)=log(x^2+1)+logx
と変形して部分積分を使います。)

問題なのは(A)が一様収束するか否かですが
こちらではチェックできませんでした。
参考までに。

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■52757 / ResNo.3)

　Re[2]: 積分の極限

□投稿者/ X 一般人(2回)-(2025/03/16(Sun) 14:10:03)

ごめんなさい。訂正します。
誤：nlog{{1+(x^3+x)}/2} (A)
正：nlog{{1+(x^3+x)^(1/n)}/2} (A)

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■52735 / 親記事)

　平方数と素数

□投稿者/ カサス一般人(1回)-(2025/03/11(Tue) 10:58:48)

正の整数a,b,cは、a^2-bcが平方数であるとき、
2a+b+cは素数ではないことの証明を教えて下さい。

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■52738 / ResNo.1)

　Re[1]: 平方数と素数

□投稿者/ WIZ 一般人(3回)-(2025/03/11(Tue) 14:21:51)

2025/03/11(Tue) 16:12:03 編集(投稿者)

pを正の整数、dを非負整数として、
a^2-bc = d^2・・・・・(1)
2a+b+c = p・・・・・(2)
とおきます。

⇒ c = p-b-2a
⇒ d^2 = a^2-b(p-b-2a) = a^2-bp+b^2+2ab = (a+b)^2-bp
⇒ bp = (a+b)^2-d^2 = (a+b+d)(a+b-d)・・・・・(3)

bp > 0 かつ a+b+d > 0 ですから、a+b-d > 0 と言えます。
また、a+b < 2a+b+c = p かつ d ≧ 0ですから、
0 < a+b-d < p・・・・・(4)
となります。

以下、pを素数と仮定すると矛盾することを示します。

(3)(4)より、pはa+b+dの約数であり、a+b-dはbの約数と言えます。
0 < a+b-d ≦ b
⇒ 0 < a ≦ d・・・・・(5)

(1)(5)より
d^2 = a^2-bc ≦ d^2-bc
⇒ 0 ≦ -bc

上記はbc > 0より、-bc < 0なので不可能です。
よって、pが素数という仮定が誤りと言えます。

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■52740 / ResNo.2)

　Re[2]: 平方数と素数

□投稿者/ カサス一般人(2回)-(2025/03/11(Tue) 17:41:09)

ありがとうございました。
非常によく解りました。

解決済み!

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