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■51891 / 親記事) 　不等式
□投稿者/ 教えてください 一般人(2回)-(2022/06/22(Wed) 21:36:55)
    においてであることの証明を教えてください。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■51892 / ResNo.1) 　Re[1]: 不等式
□投稿者/ X 一般人(1回)-(2022/06/22(Wed) 22:52:10)
    証明すべき不等式を(A)とすると
    0＜x＜1 (B)
    により
    (A)⇔(4-πx)√(1+x)-4√(1-x)＞0
    ⇔{(1+x)(4-πx)^2-16(1-x)}/{(4-πx)√(1+x)+4√(1-x)}＞0
    ⇔(1+x)(4-πx)^2-16(1-x)＞0
    ⇔(x+1){(πx)^2-8πx+16}+16x-16＞0
    ⇔(π^2)x^3-8πx^2+32x+(πx)^2-8πx＞0
    ⇔(π^2)x^2-8πx+32+(π^2)x-8π＞0
    ⇔(π^2)x^2-(8π-π^2)x+32-8π＞0 (A)'
    ここで
    f(x)=(π^2)x^2-(8π-π^2)x+32-8π
    と置くと
    f(x)=(π^2){x^2-(8/π-1)x}+32-8π
    =(π^2){x-(4/π-1/2)}^2+32-8π-(4-π/2)^2
    =(π^2){x-(4/π-1/2)}^2+16-4π-(π^2)/4
    で
    0＜4/π-1/2＜1
    ゆえ
    f(x)≧16-4π-(π^2)/4＞16-3.2・4-(3.2^2)/4=16-12.8-2.56＞0
    ∴(A)'は成立するので(A)は成立します。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51893 / ResNo.2) 　Re[1]: 不等式
□投稿者/ らすかる 一般人(4回)-(2022/06/22(Wed) 22:57:25)
    x=sint（0＜t＜π/2）とすると
    {√(1+x)-√(1-x)}/{x√(1+x)}
    ={(1+x)-√(1-x^2)}/{x(1+x)}
    =(1+sint-cost)/{sint(1+sint)}
    f(t)=(1+sint-cost)/{sint(1+sint)}とおくと
    f'(t)=(√2)cos(t+π/4)(sint+1)(cost-1)/{(sint)^2(1+sint)^2}
    となるのでf(t)は0＜t＜π/4で減少、π/4＜t＜π/2で増加
    すなわち{√(1+x)-√(1-x)}/{x√(1+x)}は
    0＜x＜1/√2で減少、1/√2＜x＜1で増加なので
    x=1/√2のとき最小値2√2-2をとることがわかる。
    49/25＜50/25=2
    7/5＜√2
    2√2-2＞4/5=0.8
    π＜3.2からπ/4＜0.8
    従って0＜x＜1で(与式)＞0.8＞π/4

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51894 / ResNo.3) 　Re[2]: 不等式
□投稿者/ 教えてください 一般人(3回)-(2022/06/24(Fri) 11:03:37)
    どちらの方法も理解出来ました。
    ありがとうございました。
解決済み!
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■51885 / 親記事) 　数列の極限
□投稿者/ わずか 一般人(1回)-(2022/06/18(Sat) 01:09:40)
    実数の数列{a[n]}が
    na[n+1]=(n+1)a[n]-max{a[n],n^2} (n=1,2,3,‥)
    を満たしている
    lim[n→∞]a[n]/n^2を求めよ


    この問題を教えて下さい
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]
■51888 / ResNo.1) 　Re[1]: 数列の極限
□投稿者/ そう 一般人(1回)-(2022/06/19(Sun) 06:13:33)
    既にあなたがその問題を教えてくださっています。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51889 / ResNo.2) 　Re[1]: 数列の極限
□投稿者/ マシュマロ 一般人(16回)-(2022/06/20(Mon) 09:13:07)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A
    こんにちは＾＾

    この問題については、次のようなステップで解けそうですね。

    ①　十分大きなｎに対してa［ｎ］≦ｎ＾２となることを示す。

    ②　十分大きなｎに対してa［ｎ］＝ｋｎ－ｎ＾２ （ｋ：定数）となることを示す。

    ③　よって極限値は－１になる。


    ①は、a［ｎ］＞ｎ＾となる間は条件式からa［ｎ＋１］＝a［ｎ］となることと、一旦ｎ＾２以下になったらその後もそうであることを帰納法で示せば導かれます。

    ②は、①を満たすｎにたいして条件式のｍaｘの項がｎ＾２になり、
    a［ｎ＋１］＝（ｎ＋１）／ｎ・a［ｎ］－ｎとなることから計算されます。

    各段階で引かれたｎが１段階ごとに（ｎ＋１）／ｎ倍されていくので、
    ｎ → ｎ＋１ → ｎ＋２ → ……

    となってｒ番目にはｒとなることに注目します。

    最初に①の条件が成り立つのがｎ＝ｍのときとし、a［ｍ］＝ｋとすると
    ｒ（≧ｍ）に対して

    a［ｒ］＝－ｒ（ｒ－ｍ）＋ｋｒ／ｍ

    となるので、求める極限値は－１になることがわかります。

    ご参考になれば幸いです。
    ではでは＾＾
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■51890 / ResNo.3) 　Re[2]: 数列の極限
□投稿者/ マシュマロ 一般人(17回)-(2022/06/20(Mon) 09:17:23)
http:///www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A
    ちょっと修正ですが、②でｋの文字を使ったので、その後に出てくる
    a［ｍ］＝ｋのところは別の文字、たとえばｐにしておいた方が
    混乱しにくくてよかったですね。
    なので、そのように訂正します。
    ではでは＾＾
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■51886 / 親記事) 　（削除）
□投稿者/ -(2022/06/18(Sat) 11:44:56)
    この記事は(投稿者)削除されました
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▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■51887 / ResNo.1) 　Re[1]: 三角関数の不等式
□投稿者/ 知りません 一般人(1回)-(2022/06/19(Sun) 06:12:43)
    少しは熟考したらどうなんだよ。丸投げ阿呆野郎
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■51882 / 親記事) 　場合の数
□投稿者/ バレー部 一般人(1回)-(2022/06/17(Fri) 21:12:00)
    0から9までの整数から3つの整数x,y,zを以下の条件を満たすように選ぶ。
    条件： x-y, y-z, z-x の中に3の倍数も3の倍数でないものも存在する。
    この条件を満たす組(x,y,z)はいくつあるか。(x,y,zの順列)

    教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■51883 / ResNo.1) 　Re[1]: 場合の数
□投稿者/ らすかる 一般人(3回)-(2022/06/17(Fri) 22:14:55)
    全部3の倍数であるものは
    (0,3,6,9)から重複を許して3個、(1,4,7)から重複を許して3個、
    (2,5,8)から重複を許して3個のいずれかなので
    4^3+3^3+3^3組
    全部3の倍数でないものは
    (0,3,6,9)から1個、(1,4,7)から1個、(2,5,8)から1個なので
    4×3×3×3!組
    これらをすべての組み合わせ10^3組から引けば出せますね。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51884 / ResNo.2) 　Re[2]: 場合の数
□投稿者/ バレー部 一般人(2回)-(2022/06/17(Fri) 23:01:30)
    ありがとうございます。


    10^3-4^3-3^3-3^3-4×3×3×3!
    =666

    ちょっと怖いですね…。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■51879 / 親記事) 　最小値
□投稿者/ 闇払い 一般人(1回)-(2022/06/14(Tue) 09:45:56)
    (2xsin(x/2) +π/2 -x+sin(x))/(2-cosx)の0≦x≦πにおける最小値を求め方とともに教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス1件(ResNo.1-1 表示)]
■51881 / ResNo.1) 　Re[1]: 最小値
□投稿者/ マシュマロ 一般人(15回)-(2022/06/14(Tue) 18:37:46)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A
    こんにちは☆

    この問題も先日の問題と同様、逐次微分を用いた数値解析によって
    アルゴリズム的に最小値およびその区域を任意の精度で求めることができます。

    ｆ（ｘ）＝（２ｘsin（ｘ／２）＋π／２－ｘ＋sinｘ）／（２－cosｘ）

    とおくと

    ①　ｆ´（ｘ）＝（ｘcos（ｘ／２）＋２sin（ｘ／２）－１＋cosｘ）／（２－cosｘ）
    　　　　　　 －sinｘ・（２ｘsin（ｘ／２）＋π／２－ｘ＋sinｘ）／（２－cosｘ）＾２

    以下、必要に応じて逐次微分を計算していき、区域ごとにその符号と零点が
    いずれの位置に入るかを調べていけば、最小値をとる区間が割り出せます。

    その区間における①の右辺の逆関数をｇ（ｘ）とおけば、α＝ｇ（０）においてｆ（ｘ）は最小値ｆ（α）をとることがわかります。

    ただし、端点で最小値をとる場合は例外です。

    実際、今回も暗算で様子を調べた範囲では、両端点での値π／２はかなり有力な候補ですが、正確にはアルゴリズム的な数値解析によって割り出されます。

    ご参考になれば幸いです。
    ではでは☆
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