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| ■50214 / 親記事) |
フェルマーの最終定理の簡単な証明9
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□投稿者/ 日高 一般人(3回)-(2020/02/12(Wed) 09:22:33)
 | ご指摘おねがいします。
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▽[全レス25件(ResNo.21-25 表示)]
| ■50412 / ResNo.21) |
Re[18]: フェルマーの最終定理の簡単な証明9
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□投稿者/ 日高 一般人(9回)-(2020/07/16(Thu) 08:18:52)
| 【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(3)はrが無理数なので、yが有理数のとき、x,y,zは整数比とならない。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)の解は(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、rが有理数のときの解は整数比とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
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| ■50413 / ResNo.22) |
Re[19]: フェルマーの最終定理の簡単な証明9
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□投稿者/ 日高 一般人(10回)-(2020/07/16(Thu) 08:20:37)
| 【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。
【証明】x^2+y^2=z^2を、z=x+rとおいてx^2+y^2=(x+r)^2…(1)とする。
(1)の両辺を積の形にすると、r{(y/r)^2-1}=2x…(2)となる。
(2)はr=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^2…(3)となる。
(3)はrが有理数なので、yが有理数のとき、x,y,zは整数比となる。
(2)はr{(y/r)^2-1}=a2x(1/a)…(4)となる。
(4)はr=a2のとき、x^2+y^2=(x+a2)^2…(5)となる。
(5)の解は(3)の解のa倍となるので、rが有理数のときの解は、整数比となる。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。
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| ■50414 / ResNo.23) |
Re[20]: フェルマーの最終定理の簡単な証明9
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□投稿者/ 屁留真亜 一般人(6回)-(2020/07/16(Thu) 23:13:37)
| ここは数学の質問するための掲示板です。数学漫才や数学落語のネタを議論したいのであれば、あなたのホームグラウンドである
ttps://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1569999945/
へお帰りください。以降屑のような投稿はお控えください。
暇を持て余しているのなら、今回の大雨で大災害を被った地域でボランティアでもしてください。
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| ■50422 / ResNo.24) |
Re[10]: フェルマーの最終定理の簡単な証明9
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□投稿者/ 日高 一般人(11回)-(2020/08/03(Mon) 11:24:47)
| (修正6)
【定理】p=3のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
【証明】x^3+y^3=z^3を、z=x+rとおいてx^3+y^3=(x+r)^3…(1)とする。
(1)は積の形にすると、r^2{(y/r)^3-1}=a3{x^(p-1)+x}(1/a)…(2)となる。
(2)はa=1、r^2=3のとき、x^3+y^3=(x+3^{1/2})^3…(3)となる。
(2)はa=1以外、r^2=a3のとき、x^3+y^3=(x+(a3)^{1/2})^3…(4)となる。
(3)はrが無理数なので、有理数解を持たない。
(4)はrが自然数のとき、(4)の解は、(3)の解のa^{1/2}倍となるので、有理数解を持たない。
∴p=3のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
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| ■50423 / ResNo.25) |
Re[11]: フェルマーの最終定理の簡単な証明9
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□投稿者/ 日高 一般人(12回)-(2020/08/03(Mon) 16:05:38)
| (修正6)
【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。
【証明】x^2+y^2=z^2を、z=x+rとおいてx^2+y^2=(x+r)^2…(1)とする。
(1)は積の形にすると、r{(y/r)^2-1}=a2x(1/a)…(2)となる。
(2)はa=1、r=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^3…(3)となる。
(2)はa=1以外、r^2=a2のとき、x^2+y^2=(x+a2)^2…(4)となる。
(3)はrが有理数なので、有理数解を持つ。
(4)はrが自然数のとき、(4)の解は、(3)の解のa倍となるので、自然数解を持つ。
∴p=3のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。
例
(2)はa=1、r=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^3…(3)となる。
y=10/3を代入すると、x=16/9、z=34/9
(2)はa=1以外、r^2=a2のとき、x^2+y^2=(x+a2)^2…(4)となる。
(4)はrが自然数のとき、(4)の解は、(3)の解のa倍となるので、自然数解を持つ。
a2=9のとき、a=9/2
(16/9*9/2)^2+(10/3*9/2)^2=(16/9*9/2+9)^2
8^2+15^2=17^2
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