数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 84]

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■50513 / 親記事)

　証明問題です

□投稿者/ さく一般人(1回)-(2020/09/25(Fri) 15:35:02)

こちらの問題が分かりません。分かる方お願いします。

1109×349 => 250×78

1601015702.png/49KB

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■50510 / 親記事)

　z^5 = -1 を解く

□投稿者/ Megumi 一般人(6回)-(2020/09/25(Fri) 09:42:44)

　z^5 = 1 と同じように解いたのですが、これでいいのでしょうか？
　
　　z = r(cosθ+isinθ)　　　 (r、θは実数)

　　z^5 = r^5(cosθ+isinθ)^5
　　　　= r^5(cos5θ+isin5θ)
　　-1 = -1 + 0i = 1(cosπ + isin0)
　実部と虚部を比較して
　　r^5 = 1, 5θ = (2n+1)π　 (n = 0, 1, 2, 3, 4)
　したがって
　　r = 1
　　θ = π/5, 3π/5, 5π/5 = π/5, 7π/5, 9π/5
　ゆえに
　　z = 1,
　　cos(π/5) + isin(π/5) = e^(iπ/5)　　　　重解？
　　cos(3π/5) + isin(3π/5) = e^(i3π/5)
　　cos(7π/5) + isin(7π/5) = e^(i7π/5)
　　cos(9π/5) + isin(9π/5) = e^(i9π/5)

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50511 / ResNo.1)

　Re[1]: z^5 = -1 を解く

□投稿者/ らすかる一般人(19回)-(2020/09/25(Fri) 11:20:18)

> 　-1 = -1 + 0i = 1(cosπ + isin0)
> 　実部と虚部を比較して
> 　　r^5 = 1, 5θ = (2n+1)π　 (n = 0, 1, 2, 3, 4)

この部分は
-1 = |-1|(cos(arg(-1))+isin(arg(-1))) = 1(cos(2n+1)π + isin(2n+1)π)
∴r^5=1, 5θ=(2n+1)π
です。

> 　　θ = π/5, 3π/5, 5π/5 = π/5, 7π/5, 9π/5

5π/5はπ/5ではありません。5π/5=πです。

> 　　z = 1,

突然現れたz=1は誤りです。

> 　　cos(π/5) + isin(π/5) = e^(iπ/5)　　　　重解？

重解ではありません。
解は
z=
cos(π/5) + isin(π/5) = {√5+1+i√(10-2√5)}/4,
cos(3π/5) + isin(3π/5) = {-√5+1+i√(10+2√5)}/4,
cos(5π/5) + isin(5π/5) = -1,
cos(7π/5) + isin(7π/5) = {-√5+1-i√(10+2√5)}/4,
cos(9π/5) + isin(9π/5) = {√5+1-i√(10-2√5)}/4
となります。
もし最初から答えをe^(iπ/5)の形で書きたかったのであれば、
z^5=-1=e^((2n+1)iπ)
z=e^((2n+1)iπ/5)
∴z=e^(iπ/5),e^(3iπ/5),e^(5iπ/5)=e^(iπ),e^(7iπ/5),e^(9iπ/5)
とするのが早いですし、そうでなくてもe^(iπ/5)の形を知っているならば
こちらの答えを先に出した方が（cosとisinを書く手間が減る分）簡単だと思います。

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■50512 / ResNo.2)

　Re[2]: z^5 = -1 を解く

□投稿者/ Megumi 一般人(7回)-(2020/09/25(Fri) 11:36:09)

> 5π/5はπ/5ではありません。5π/5=πです。
　あちゃー、そうですね(^O^)。

　とても参考になりました。感謝です。

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■50506 / 親記事)

　空間上の点

□投稿者/ YUASOBI 一般人(1回)-(2020/09/23(Wed) 01:28:45)

xyz座標空間上に原点O(0,0,0)と3点A,B,Cがあり、
Aはyz平面にあり、
線分OA,OB,OCの長さは全て等しく、
OAとOB、OBとOC、OCとOAは全て直交し、
A,B,Cのz座標がそれぞれ1,2,4であるとき、
A,B,Cの座標を求めたいです。
教えて下さい。お願いいたします。

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50508 / ResNo.1)

　Re[1]: 空間上の点

□投稿者/ らすかる一般人(18回)-(2020/09/23(Wed) 03:14:36)

P(0,0,t),Q(0,t,0),R(t,0,0)（t＞0）とすると
それぞれの点から平面x+ay+bz=0までの距離は
|bt|/√(a^2+b^2+1), |at|/√(a^2+b^2+1), |t|/√(a^2+b^2+1)だから
これが1,2,4になるためにはb=1/4,a=1/2,t=√21
つまりP(0,0,√21),Q(0,√21,0),R(√21,0,0)から
4x+2y+z=0までの距離が順に1,2,4。
x'=(x-2y)/√5, y'=(2x+y)/√5, z'=zとおいて回転すると
P'(0,0,√21),Q'(-2√105/5,√105/5,0),R'(√105/5,2√105/5,0),
平面は(2√5)y'+z'=0
x''=x, y''={y'-(2√5)z'}/√21, z''={(2√5)y'+z'}/√21とおいて回転すると
P''(0,-2√5,1),Q''(-2√105/5,√5/5,2),R''(√105/5,2√5/5,4),
平面はz''=0
よって、このP'',Q'',R''をA,B,Cとすれば条件を満たす。
またyz平面に関する対称移動やzx平面に関する対称移動を行っても条件を満たすので、
解は全部で4通りあり、具体的には
A(0,-2√5,1),B(干2√105/5,√5/5,2),C(±√105/5,2√5/5,4)（複合同順）と
A(0,2√5,1),B(干2√105/5,-√5/5,2),C(±√105/5,-2√5/5,4)（複合同順）。

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■50509 / ResNo.2)

　Re[2]: 空間上の点

□投稿者/ YUASOBI 一般人(2回)-(2020/09/23(Wed) 09:37:39)

ありがとうございました！！
とても助かりました(*´∇｀*)

解決済み!

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■50499 / 親記事)

　複素関数の部分分数分解

□投稿者/ Megumi 一般人(3回)-(2020/09/20(Sun) 13:09:52)

　実感数では
　　1/(1-t^2)^2 = a/(1-t) + b/(1-t)^2 + c/(1+t) + d/(1+t)^2.

　　1 = a(1-t)(1+t)^2 + b(1+t)^2 + c(1-t)^2(1+t) + d(1-t)^2
　　　= a(1+t-t^2-t^3) + b(1+2t+t^2) + c(1-t-t^2+t^3) + d(1-2t+t^2)
　　　= a + b + c + d + (a+2b-c-2d)t + (-a+b-c+d)t^2 + (-a+c)t^3.
　　a + b + c + d = 1.
　　a + 2b - c - 2d = 0.
　　- a + b - c + d = 0.
　　-a + c = 0.
　　∴a = b = c = d = 1/4.

　これにならって
　　1/(z^2+1) = 1/(z+√2i)(z-√2i) = α/(z+√2i) + β(z-√2i)
　　1 = α(z-√2i) + β(z+√2i)
　　　= αz + βz - α√2i + β√2i
　　　= z(α+β) - √2i(α-β)
　　α+β = 0
　　α-β = -1/√2i
　　2α = 1/√2i.　　α = 1/2√2i.　　β = -1/2√2i
　　∴α/(z+√2i) + β(z-√2i) = 1/2√2i( 1/(z+√2i) - 1/(z-√2i) )
とやったのですが、これでいいのでしょうか？

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▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]

■50501 / ResNo.1)

　Re[1]: 複素関数の部分分数分解

□投稿者/ らすかる一般人(15回)-(2020/09/20(Sun) 20:06:43)

(z+(√2)i)(z-(√2)i)=z^2+2≠z^2+1ですから先頭行が正しくありません。

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■50502 / ResNo.2)

　Re[2]: 複素関数の部分分数分解

□投稿者/ Megumi 一般人(4回)-(2020/09/20(Sun) 22:18:15)

回答ありがとうございます。
1/(z^2+2)の分解でした。お騒がせしました。

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